Quinta-feira, 9 de Abril de 2009

As probabilidades e os anos

Na minha actividade profissional tenho entrado em muitas escolas do distrito de Castelo Branco. Tenho assistido às mais variadas situações envolvendo alunos e professores e eu próprio. Normalmente quando entro numa sala de aula olho em volta e observo os cartazes, os trabalhos, os materiais, as informações,...que estão expostos nas paredes ou nos armários ou nas mesas.

Há, talvez, cerca de dois anos, ao ler um cartaz pendurado numa parede, verifiquei que havia naquela sala cinco (5) alunos que faziam anos no mesmo dia, embora não fossem da mesma idade. Verifiquei depois que havia três irmãos que eram gémeos. Apesar disto, era um número significativo de alunos a fazerem anos no mesmo dia, o que não parece ser nada vulgar, tanto mais que a turma tinha 17 alunos, o que corresponde a uma percentagem de 29,4% do total de alunos.

Esta circunstância levou-me a fazer algumas reflexões e a procurar informações sobre a probabilidade de acontecerem situações parecidas com esta.

1. Conta-se, como pergunta de algibeira, que tendo alguém 10 pares de peúgas de três cores diferentes numa gaveta da cómoda do quarto de dormir, todas misturadas,  e não querendo acender a luz de madrugada para não acordar a mulher e precisando de peúgas, pergunta-se:

 

- Quantas peúgas deve tirar para ter a certeza de que tem um par da mesma cor?

 

A resposta não pode ser 2, porque tem três cores diferentes; não pode ser 3 - poderia calhar uma peúga de cada cor; mas com 4 peúgas de certeza que duas eram da mesma cor.

 

2. Martin Gardner, no seu livro "Ah, apanhei-te!" pergunta se será "uma coincidência extraordinária" duas pessoas num grupo de quatro serem do mesmo signo. Nós, em vez de signos, preferimos perguntar:

 

Qual é a probabilidade de duas pessoas, num grupo de quatro, terem nascido no mesmo mês?

 

Tal como no caso das meias, para que tivéssemos a certeza (probabilidade 1) de ter duas pessoas nascidas no mesmo mês precisávamos de juntar 13 pessoas.

Como calcular a probabilidade de duas pessoas num grupo de 4 terem nascido no mesmo mês?

Parece evidente que qualquer das pessoas tem a mesma probabilidade de ter nascido em qualquer dos 12 meses do ano, que será 1/12. Se considerarmos quatro pessoas - Alice, Berta, Carla e Dulce - podemos imediatamente calcular qual é a probabilidade da Alice e da Berta não terem nascido no mesmo mês. Como os meses são 12, logo essa probabilidade é 11/12. Portanto a probabilidade de terem nascido no mesmo mês é 1/12. Isto, no caso de serem 2 pessoas.  Juntando a Carla, a probabilidade desta não ter nascido  no mesmo mês das outras duas é 10/12. E juntando a Dulce, a probabilidade desta não ter nascido  no mesmo mês das outras três é 9/12.

Agora já temos as quatro amigas e se multiplicarmos as três fracções obtidas anteriormente obtemos a probabilidade de nenhum par das amigas terem nascido no mesmo mês:

 

11/12 x 10/12 x 9/12 = 990/1728 = 55/96

 

1 - 55/96 = 41/96 = 0,427- probabilidade de duas das 4 amigas terem nascido no mesmo mês.

 

Como verificamos a probabilidade de num grupo de 4 pessoas duas delas terem nascido no mesmo mês é superior a 4/10, bastante perto de 1/2.

3. Existe um problema clássico que é um pouco mais complexo do que este. Já o vi enunciado de duas maneiras distintas:

A - Qual é o número mínimo de pessoas que devemos juntar aleatoriamente de modo a obtermos uma probabilidade superior a 1/2 de haver pelo menos duas pessoas no grupo que fazem anos no mesmo dia do ano, logo, mesmo dia e mês?

 

A outra versão é:

 

B - Se juntarmos 23 pessoas aleatoriamente (ao acaso) há "uma probabilidade ligeiramente superior a 1/2 de, pelo menos, duas terem nascido no mesmo dia e mês" (Martin Gardner, 1982). Verdadeiro ou falso?

 

Como é que se faz o cálculo para a 2ª versão? É semelhante ao caso anterior, o das 4 amigas. Vejamos:

 

- A probabilidade de duas pessoas não terem nascido no mesmo dia e mês é 364/365. Se o ano tem 365 dias, então se duas pessoas fazem anos no mesmo dia do mês, então essa probabilidade é 1/365.

Continuando o raciocínio, se juntarmos uma 3ª pessoa a probabilidade de não fazerem anos no mesmo dia é 363/365 e assim sucessivamente.

Como são 23 pessoas temos de obter 22 fracções de denominador 365 e o numerador vai diminuindo 1 unidade.

Em seguida multiplicamo-las e subtraimos o valor obtido a 1. Será:

 

364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x 360/365 x ...x 343/365 = 0,49270276....

1 - 0,49270276 = 0,50729724

 

Como se verifica a probabilidade de num grupo de 23 pessoas, formado ao acaso, pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia e mês é efectivamente ligeiramente superior a 1/2.

 

Perante estes resultados, não é de admirar que em qualquer das salas que eu visitei houvesse dois ou mais alunos a fazerem anos no mesmo dia. Daí que os cinco que encontrei, embora pouco comum, não se torna uma situação invulgar.

 

Agora para terminar propomos um pequeno desafio:

 

- Quantas pessoas devem estar reunidas, ao acaso, para que a probabilidade de, pelo menos duas delas, fazerem anos no mesmo dia e mês seja cerca de 7/10?

 

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publicado por Frantuco às 23:42
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1 comentário:
De André a 25 de Maio de 2010 às 22:47
Resumindo o processo que utilizou, para se calcular o número de pelo menos 2 pessoas fazerem anos no mesmo dia num grupo de n pessoas pode-se utilizar a expressão: (364A(n-1))/(365^n)

Não sei se aqui dá para perceber muito bem. (O A representa um arranjo completo).

A resposta eu sei porque utilizei a função gráfica... mas existe uma maneira mais simples de chegar ao resultado certo?

Obrigado :)

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