Quinta-feira, 30 de Abril de 2009

As probabilidades no dia a dia - II

O problema dos gatos da minha filha Ana Rita acabou por se resolver da forma mais feliz para ela: a amiga ofereceu-lhe um gatinho com manchas brancas e pretas, que se está a revelar um belo patife que arranha tudo o que é sofá.

Mas, as situações que envolvem decisões em relação a assuntos acerca dos quais não temos a certeza são muitos e variados.

Vamos dar mais dois ou três exemplos.

 

1 - Voltando ao lançamento de moedas. Já verificámos no post anterior que a probabilidade de sair cara ou coroa no lançamento de uma moeda era 50% para cada caso.

Coloquemos uma situação um pouco diferente. Lancemos simultaneamente 5 moedas iguais. Qual é probabilidade de obtermos, pelo menos, 4 caras?

Para resolver esta questão, basta um pequeno raciocínio e a construção de uma tabela:

 

- A primeira questão a saber é de quantas maneiras diferentes podem cair as 5 moedas?

A - se for uma moeda são 2 maneiras, ou seja 21:

 

   cara coroa

B - se forem duas moedas são 4 maneiras, ou seja 22:

 

cara,cara coroa,coroa
cara,coroa coroa,cara

C - se forem três moedas, já parece evidente que serão 8 maneiras, ou seja 23:

      

cara,cara,cara coroa,coroa,coroa
cara,cara,coroa cara,coroa,cara
coroa,cara,cara cara,coroa,coroa
coroa,cara,coroa coroa,coroa,cara

 

Parece evidente que se forem quatro moedas são 16 maneiras e cinco moedas darão 32 maneiras diferentes, ou seja 25 .

 

Propomos aos leitores um pequeno desafio:

 

- Elaborem uma tabela semelhante às anteriores com os trinta e dois casos possíveis e tentem responder à pergunta inicial, que repito:

 

- Qual é a probabilidade de obtermos, pelo menos, quatro caras no lançamento de cinco moedas simultaneamente?

 

2 - A segunda situação tem a ver com o lançamento simultâneo de dois dados.

Os professores do primeiro ciclo têm de recorrer, muitas vezes, ao jogo didáctico para ensinar os alunos. A situação a que me refiro pode ser transformada num jogo. Já vi dois com o mesmo objectivo e com nomes diferentes: "A travessia do rio" e "O Salto dos cangurus".

 

Expliquemos como é que funciona "A Travessia do rio":

 

- São precisos dois jogadores: A e B.

- São usados dois dados que são lançados pelos jogadores, alternadamente.

- Há um cartão com o desenho de um rio ao meio e em cada uma das margens 12 casas numeradas de 1 a 12.

- Cada jogador possue 12 objectos que terá de passar para a margem do rio oposta à sua.

Regras:

1 - Cada jogador coloca os seus objectos nas casas numeradas que entender. Até pode colocar todos os objectos na mesma casa se entender que essa é a melhor estratégia para ganhar o jogo.

2- Cada jogador lança os dois dados e soma os pontos das faces viradas para cima. No caso de ter algum objecto na casa que tem o número da soma, esse objecto passa para a outra margem (só passa um objecto de cada vez).

3 - Ganha o jogo quem primeiro passar todos os 12 objectos para a margem oposta.

Vejamos uma situação concreta:

 

 

Vamos supor que depois de efectuadas algumas jogadas o jogo tem a posição anterior; o jogador A lança os dados e a soma dos pontos é 6. O jogador A ganha ao passar o último objecto para a outra margem.

Mas até chegar a esta situação pode ter sido por duas razões: ou por sorte ou por ter conseguido arranjar uma estratégia ganhadora. Para isso é preciso verificar que:

A - não se devem colocar objectos na casa numerada com 1 (nunca se consegue a soma 1);

B - devem escolher-se as somas com maior probabilidade de sairem e colocar nessas casas o maior número de objectos. É preciso saber que são 11 somas que são possíveis de obter (de 2 a 12), mas nem todas saem com a mesma frequência. De entre os casos possíveis, o 12 só se pode obter quando saem dois 6; mas o 8 pode obter-se de várias formas: 4 + 4; 2 + 6; 3 + 5; 6 + 2; 5 + 3 - 5 maneiras diferentes, o quer dizer que temos muito maior probabilidade de obter 8 do que 12. Agora é preciso descobrir as somas com maior probabilidade de se conseguirem e como tal a estratégia ganhadora.Façamos duas perguntas:

- Qual é soma que tem maior probabilidade de sair?

- Que casas escolheria para colocar os seus objectos de modo a ganhar o jogo?

 

É esse o desafio para os leitores.

publicado por Frantuco às 23:43
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