Domingo, 21 de Junho de 2009

Rãs e Sapos ou Ovelhas e Cabras

Fizeram parte da minha infância muitos jogos a que hoje chamam de "tradicionais", mas que para nós eram puro divertimento e os nomes que lhes dávamos poucas pessoas conseguem hoje identificá-los.

Jogar à "CHIA" era hoje, se ainda se joga, jogar à "Macaca".

E o que era jogar à "Barra-bandeira"? Não sei se hoje terá algum correspondente.

E o que era jogar ao "Mocho"? Quem sabe? Já alguém ouviu falar?

Pois é. Naquela época não havia televisão, não havia computadores, nem consolas, nem vídeos,nem...

Mas havia a rua para jogar livremente e às vezes, na Primavera quando chovia e as valetas corriam, andávamos descalços na água  e na lama que se metia por entre os dedos dos pés e era uma sensação deliciosa.

Perdoem-me por esta nostalgia. Estas memórias vêm a propósito de jogos. Hoje vou falar de um jogo que no meu tempo de estudante jogávamos com 6 moedas - 3 brancas e 3 pretas. Colocavam-se 3 de um lado e 3 do outro, com um intervalo entre elas. Através de movimentos para a direita e para a esquerda, de acordo com algumas regras pretendia-se trocar a posição das moedas brancas e pretas no menor número de movimentos. Este jogo/problema envolve muita matemática. Vamos ver porquê.

As regras são:

1 - Uma moeda pode deslocar-se para um espaço à sua direita (moeda branca) ou à sua esquerda (moeda preta) que esteja livre;

2 - Uma moeda pode saltar por cima de outra de cor diferente desde que o espaço à sua direita ou à sua esquerda esteja livre.

3 - As moedas brancas só podem deslocar-se para a direita e as pretas só podem deslocar-se para a esquerda.

São apenas estas três regras.

 

A - Comecemos por jogar com duas moedas (discos, bolas,...) uma de cada cor.

 


 

Como se verifica bastam 3 movimentos para trocar a posição das moedas.

B - Façamos o jogo com 4 moedas, duas de cada cor.

 

 

 

 

 

Como verificamos a posição das moedas troca-se ao fim de 8 movimentos (M1, ..., M8), cumprindo as regras.

E, agora perguntamos: Quantos movimentos são necessários para mudar 3 moedas de cada cor? Ou 4, 5 ou n moedas de cada cor? Será possível descobrir uma regra que nos permita saber quantos movimentos temos de efectuar para trocar a posição das moedas?

Vejamos:

1 - Como as moedas de uma cor não podem saltar por cima das da mesma cor, significa que chegam ao seu destino mantendo as posições relativas, isto é, para cada moeda se houver n moedas de cada cor teremos de fazer n+1 movimentos. Assim, para n moedas brancas são n(n+1) e para n moedas pretas são n(n+1) movimentos. Somando as duas expressões dá no total : n(n+1) + n(n+1) = n2 + n + n2 + n = 2n2 + 2n, movimentos, se não houvesse saltos que poupam movimentos.

2 - Vamos ver então quantos saltos são dados. As moedas brancas saltam por cima das negras e vice-versa. Quantos saltos são no total? Vamos contá- los nos exemplos anteriores:

No primeiro caso foi dado 1 salto (M2) - poupou-se 1 movimento.

No segundo caso foram dados 4 saltos (M2, M4, M5, M7) - pouparam-se 4 movimentos.

E se fossem 3 moedas de cada cor, quantos saltos se davam? Se aplicarmos a primeira fórmula ao caso de 2 moedas de cada cor obtemos:

          2 x 22 + 2 x 2 = 2 x 4 + 4 = 8 + 4 = 12 movimentos

Mas só fizemos 8. Então temos de tirar 4 movimentos que correspondem aos saltos dados e movimentos poupados.

Como são 2 moedas de cada cor, então 4 = 2 x 2.

Se forem 3 moedas de cada cor, então os saltos serão 9 = 3 x 3 e se forem n moedas, então os saltos serão n x n = n2 .

Daqui podemos concluir que o total de movimento necessários para trocar a posição de n moedas de duas cores é dado pela expressão:

 

 2n2 + 2n - n2 = n2 + 2n

 

Parece evidente que agora é fácil saber quantos movimentos são necessários fazer para um determinado número de moedas. É só aplicar a fórmula anterior.

Mas, já se torna um pouco mais difícil (só um pouquinho) fazer um esquema igual ao nosso com os movimentos necessários para trocar 4 moedas de cada cor. É este o desafio que vos propomos.

Ficamos à espera das vossas respostas e comentários.

 

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publicado por Frantuco às 01:33
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