Domingo, 28 de Setembro de 2008

Matemática e poesia

Embora o poema que vou apresentar não se relacione directamente com a matemática utiliza termos matemáticos como quantidade (?), problema, soma, multiplicar por dez, que acabam por ser um pretexto para divulgar um poeta/artista do século XX que foi um dos expoentes máximos do surrealismo português. Talvez este poema aguce o apetite aos leitores para outras poesias.

 

 

uma certa quantidade

 

 

Uma certa quantidade de gente à procura

de gente à procura duma certa quantidade

 

Soma:

uma paisagem extremamente à procura

o problema da luz (adrede ligado ao problema da vergonha)

e o problema do quarto-atelier-avião

 

Entretanto

e justamente quando

já não eram precisos

apareceram os poetas à procura

e a querer multiplicar tudo por dez

má raça que eles têm

ou muito inteligentes ou muito estúpidos

pois uma e outra coisa eles são

Jesus Aristóteles Platão

abrem o mapa:

dói aqui

dói acolá

 

E resulta que também estes andavam à procura

duma certa quantidade de gente

que saía à procura mas por outras bandas

bandas que por seu turno também procuravam imenso

um jeito certo de andar à procura deles

visto todos buscarem quem andasse

incautamente por ali a procurar

 

Que susto se de repente alguém a sério encontrasse

que certo se esse alguém fosse um adolescente

como se é uma nuvem um atelier um astro

 

                                      Mário Cesariny [1923 - 2006]

 

Uma vez que o nosso poema fala de problema vamos deixar um pequeno desafio (clássico) para resolverem:

 

O meu avô tinha na sua horta um poço quadrado com uma figueira em cada canto, cuja água acabava durante o verão. Tentou arranjar uma solução para o problema aumentando a capacidade do poço, mas não queria derrubar as figueiras. Queria que ficassem no mesmo lugar. Depois de pensar conseguiu encontrar uma solução.

O poço foi alargado. Ficou quadrado. As figueiras ficaram no mesmo lugar.

 

As perguntas:

 

Como resolveu o meu avô o problema?

Que aconteceu à boca do poço? Que relação passou a existir entre as áreas da boca do poço inicial e do poço final? E entre os volumes dos dois poços?

(Sugestão: a melhor maneira de resolver o problema é fazer um desenho)

 

 

publicado por Frantuco às 14:11
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Segunda-feira, 22 de Setembro de 2008

Tipos de números

Se atentarmos no título do texto e reflectirmos um pouco, faremos, seguramente, uma pergunta: Então os números que existem não são aqueles que estudámos na escola - números inteiros, naturais e decimais, números racionais e irracionais, números relativos, positivos e negativos, números complexos e transcendentes, pares e ímpares, cardinais e ordinais e muitos outros?

 

Mas, além destes que são conhecidos e estudados normalmente nas escolas, existe toda uma panóplia de números, entre os quais parece haver relações de parentesco, como números primos, primos entre si, gémeos, primos de Mersenne, primos de Fermat, amigos ou números com formas geométricas, como os números quadrados, triangulares, piramidais, tetraédricos, pentagonais, hexagonais, oblongos, …

 

De todos estes tipos de números seleccionámos alguns que vamos tentar apresentar, não só pela curiosidade, mas também pela sua importância matemática.

 

Comecemos pelos números perfeitos. É claro que o nome não tem a ver com a forma como são traçados de forma mais ou menos perfeita, mas com os seus divisores.

 

O número 6 é perfeito porque é igual à soma dos seus divisores próprios:

 

1 + 2 + 3 = 6

 

Não existem muitos. Até 10 000 conhecem-se, além do 6, mais três:

 

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

 

o 496 e o 8128, que já eram conhecidos na Antiga Grécia.

 

Um pequeno desafio

 

Determinar os divisores próprios destes dois últimos números e verificar se são efectivamente números perfeitos.

 

Se há números perfeitos terá que haver imperfeitos. Não são chamados assim, mas há de dois tipos: os números deficientes e os números abundantes.

 

Quando a soma dos seus divisores próprios é menor que o número temos um número deficiente.

 

- divisores próprios de 10 – 1, 2, 5 cuja soma é:

 

1 + 2 + 5 = 8 < 10

 

O número 10 é um número deficiente.

 

Um pequeno desafio

 

Descobrir todos números deficientes menores que 100.

 

Pelo contrário, quando a soma dos seus divisores próprios é maior que o número então temos um número abundante.

 

divisores próprios de 48 – 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 cuja soma é:

 

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76 > 48

 

O número 48 é um número abundante.

 

Mais um desafio

 

Descobrir o menor e o maior número abundante de dois algarismos.

publicado por Frantuco às 15:21
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Terça-feira, 16 de Setembro de 2008

Casas, Água, Gás e Energia

Quando eu era estudante do ensino secundário, há já alguns anos, a quantidade de informação que circulava era muito menor e a comunicação fazia-se muito mais lentamente, quase a passo de caracol, contrariamente ao que hoje acontece. Talvez fosse essa situação que nos motivava, que nos despertava a curiosidade para os desafios matemáticos levando-nos a encontrar problemas, a fazer investigações e aceitar desafios que tentávamos resolver SOZINHOS e que hoje aparecem, muitas vezes, como se fossem novidades. No entanto, para mim, são já clássicos. Um deles diz respeito a uma situação que se traduz no seguinte:

 

Num bairro há três casas alinhadas que podemos identificar como A, B e C e têm de ser equipadas com água, energia e gás. Por uma questão de segurança, as tubagens que os transportam não se podem cruzar. Será possível fazê-lo? Em caso afirmativo, haverá mais de uma solução? Que outro tipo ou tipos de problemas têm relação com este?

 

Para que possamos dar uma ajuda na resolução do problema, que hoje se enquadra numa nova área da Matemática que se chama teoria dos grafos, apresentamos um esquema das casas e as instalações donde vão sair os fornecimentos da água, gás e energia:

 

                     

                 A                     B                      C
   

 

 

 

              ÁGUA                                                        GÁS                                                                    ENERGIA                                         

 

 

 Numa sociedade em permanente mudança, numa sociedade da informação/comunicação que se transmite a ritmos alucinantes é importante que os profissionais e cidadãos em geral estejam preparados para seleccionar a informação necessária e fundamental para responder aos desafios do dia a dia. Para isso devem ter a preparação necessária para tomar decisões, as melhores decisões. Devem ter a informação necessária, ter as competências, conhecer os conceitos e os processos para resolver os problemas que hão-de dar resposta às novas solicitações.

 

O desafio que propomos é dar resposta às perguntas da primeira parte e justificá-las.

 

 

 

 

 

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publicado por Frantuco às 23:38
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Quarta-feira, 10 de Setembro de 2008

Magias com números

 

Magias com números
 
As actividades com números envolvem quase sempre a realização de operações: no entanto, podemos realizá-las de formas que não exigem qualquer esforço, porque envolvem aspectos lúdicos, nomeadamente jogos, adivinhas, magias,… Os dois casos que apresentamos a seguir pretendem através da realização de algumas operações aritméticas com o auxílio de uma calculadora simples obter o número de telefone e a idade de um amigo ou apenas o número de telemóvel. Mas, mais importante e interessante do que descobrir esses números é explicar o caminho seguido até ao resultado final. Esse é o desafio que propomos.
 
1 - Adivinhar o número de telefone e a idade de uma pessoa!
 
Pedir a um amigo para:
           
  •  Escrever num papel o número do telefone sem o indicativo (sem mostrar);
  •  Multiplicar esse número por 2;
  • Adicionar 5 ao resultado obtido;
  • Multiplicar por 50;
  • Adicionar a sua idade;
  • Adicionar o número de dias de um ano comum.
 Em seguida o nosso amigo informa-nos do resultado obtido, que nós escrevemos num papel. Aqui temos de realizar uma operação para obtermos o seu número de telefone/telemóvel e a sua idade que vamos anunciar após alguma reflexão.
Façam a experiência seguindo os passos indicados e tentem encontrar a explicação para o caminho seguido.
 
 
2 - Adivinhar o número do telemóvel
 
Pegue numa calculadora e peça a um amigo para:
  • Digitar os 3 primeiros algarismos de seu telemóvel (não utilizar o  indicativo 91, 93 ou 96...);
  • Multiplicar por 80;
  •    Somar 1;
  • Multiplicar por 250;
  • Somar com os 4 últimos algarismos do mesmo telemóvel;
  • Somar com os 4 últimos algarismos do mesmo telemóvel de novo;
  • Subtrair 250;
  • Dividir por 2.

Reconhece o resultado?
Procure agora uma explicação para o caminho seguido (sugestão: tente escrever uma expressão numérica com todos os números e operações indicadas e depois resolva-a. Vai verificar que o caminho seguido não podia dar outro resultado senão o número do telemóvel do seu amigo).

 

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publicado por Frantuco às 09:53
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Quarta-feira, 3 de Setembro de 2008

O vendedor de jóias

 

 

 

 

O Vendedor de Jóias

 

 Um vendedor de jóias chegou a Bagdad para efectuar os seus negócios e como precisasse de permanecer alguns dias naquela cidade combinou com o dono da hospedaria o seguinte:

 

- Se vender as jóias por 100 dinares pagarei 20 dinares pela hospedagem, mas se as vender por 200 dinares pagarei 35 dinares.

 

Passados dias, depois de vender as jóias, não por 100 nem por 200 mas por 140 dinares, estava a tentar chegar a acordo com o hospedeiro sobre o pagamento do alojamento sobre o qual não conseguiam acertar a quantia a pagar.

 

O joalheiro, como era normal, tentava pagar apenas 24,5 dinares argumentando:

 

- Se 200 dinares de jóias correspondem a 35 dinares de hospedagem, então 140 dinares correspondem a um valor proporcional (que nós representaremos por X).

Feitas as contas vem:

 

X = (35 x 140)/200 

 

X = 24,5 dinares

 

O hospedeiro, pelo contrário, tentava receber uma quantia maior e argumentava que a dívida era de 28 dinares:

 

- Se 100 dinares de jóias correspondem a 20 dinares de hospedagem, então 140 dinares correspondem a um valor proporcional (que nós representaremos por X).

 

X =(20 x 140)/100

 

X = 28 dinares

 

Perguntamos nós:

Quem tem razão? O joalheiro ou o hospedeiro? Ou nenhum?

 

                       (Adaptado de Malba Tahan, O Homem Que Sabia Contar)

 

 

 

 

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publicado por Frantuco às 16:30
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Continua a magia do número sete

O número sete (7) é considerado sagrado para algumas religiões e aparece também ligado a alguns números com os quais aparentemente não parece ter qualquer ligação. Que relação existe entre o 7 e o número 128? Podemos dar algumas voltas, mas temos muitas dificuldades em descortinar a relação. No entanto, a relação existe e é conhecida há milhares de anos:

 

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 ( 7 factores iguais a 2, que em escrita actual se escreve na forma 2).

 

Por outro lado 128 = 7 + 21 + 2 + 98, que por sua vez se relacionam com o número 7 da seguinte forma:

 

                                  7 + 7 = 14

                                  21 - 7 = 14

                                  2 x 7 = 14

                                  98 : 7 = 14

 

Como se verifica, relacionando o número 7 com cada um dos números indicados através de cada uma das operações aritméticas adição, subtracção, multiplicação e divisão obtemos sempre o mesmo resultado 14. Mas não nos podemos esquecer que partimos do número 128 que é uma potência de base 2 e expoente 7.

O número sete (7) é de facto notável. É mesmo um número mágico.

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publicado por Frantuco às 11:50
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Será que a matemática tem algo a ver com a poesia?

 

 

 

 

O número sete

 

Para a maioria das pessoas pode parecer algo estranho, ou, pelo menos, suscitar um arquear de sobrancelhas ou uma interrogação do género "o que é que Matemática tem a ver com a poesia?" A nossa resposta só pode ser positiva e do tipo:"Tem muito". Vejamos alguns exemplos. Comecemos por um soneto famoso:

 

Sete anos de pastor Jacob servia

Labão, pai de Raquel, serrana bela;

Mas não servia ao pai, servia a ela,

Que a ela só por prémio pretendia.

 

Os dias na esperança de um só dia

Passava, contentando-se com vê-la;

Porém o pai, usando de cautela,

Em lugar de Raquel lhe deu Lia.

 

Vendo o triste pastor que com enganos

Assim lhe era negada a sua pastora,

Como se a não tivera merecida;

 

Começou a servir outros sete anos,

Dizendo: − Mais servira, senão fora

Para tão longo amor tão curta a vida.

 

                                                                     Luís Vaz de Camões [1524? - 1580]

 

Este soneto não faz matemática, mas fala no número sete (7) que é um número notável, sendo referido inúmeras vezes por razões de ordem religiosa, social, científica (matemática), geográfica,...

 

Se repararem, um soneto só toma esse nome se tiver catorze (14) versos.

 

O número 7 tem algumas propriedades ou características interessantes. Vejamos algumas: Calculemos a dízima (dízima é o quociente que se obtém quando se divide o numerador pelo denominador de uma fracção) da fracção 1/7:

 

1/7 = 0, 142 857 142 857 142 857 142 857 142 857 142 857 … É uma dízima infinita periódica, cujo período é o número 142857, que se repete infinitamente. O divisor é o número 7. Aquele número tem, no entanto, algumas características especiais que o tornam, de algum modo, único.

 

Se fizermos algumas multiplicações descobriremos coisas interessantes:

 

142 857 x 1 = 142 857 – é o próprio número, como todos os multiplicados por 1

 

142 857 x 2 = 285 714

 

142 857 x 3 = 428 571

 

142 857 x 4 = 571 428

 

142 857 x 5 = 714 285

 

142 857 x 6 = 857 142

 

142 857 x 7 =                  - deixamos em branco este resultado para que o leitor o verifique.

 

Entretanto, chamamos a atenção para os resultados obtidos anteriormente: todos eles são formados pelos algarismos do período da dízima, sempre na mesma ordem, mas em posições diferentes.

 

Não resistimos à tentação de apresentar o resultado do produto por 7: 142 857 x 7 = 999 999 – Este resultado tem uma razão de ser. Em ciência, nada é ao acaso.

Sabendo que 0, 142 857 é o quociente de 1 por 7, então se multiplicarmos 0, 142 857 por 7 dá aproximadamente 1, o que no caso corresponde a ………….. O que será leitor?

 

Mas podemos continuar a multiplicar:

 

142 857 x 8 = 1 142 856 – desapareceu o algarismo 7, que deveria estar à direita do 5; no entanto, se somarmos os algarismos das extremidades do número 1 + 6 = 7;

 

142 857 x 9 = 1 285 713 – mais uma vez desapareceu um algarismo – o 4; se somarmos os algarismos das extremidades 1 + 3 = 4 – o algarismo que falta.

 

Podemos continuar a multiplicar por: 11 ………….. 142857 x 11 = 1571427 – desapareceu o 8, mas 1 + 7 = 8

 

12 ………….. 142857 x 12 = 1714284 – desapareceu o 5, mas 1 + 4 = 5

 

13 …………..

 

14…………...

 

Continuem a procurar e verão que são capazes de encontrar mais coisas interessantes!

publicado por Frantuco às 11:49
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Porquê um blog?

Há muitas e variadas razões para que as pessoas tentem dar a conhecer as suas ideias sobre os mais diversos assuntos. No nosso caso tem a ver essencialmente com a necessidade de dar a conhecer um tipo de opinião que raramente aparece nos órgãos de comunicação social: a Matemática é uma ciência de tal maneira estigmatizada socialmente, que achamos necessário apresentá-la de uma forma diferente de forma a combater os fantasmas das dificuldades e incompreensões a ela associados.


Esperamos igualmente levar as pessoas, mesmo aquelas que pouco sabem de Matemática a dar a sua opinião e participar com os seus comentários e a apresentar as suas dúvidas.

publicado por Frantuco às 11:47
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