Terça-feira, 28 de Outubro de 2008

O Pombal das cem pombas

No tempo da minha infância não havia televisão, que é um  bocadinho mais antiga do que as novas tecnologias. As longas noites de inverno eram passadas junto da lareira ou à braseira de carvão, porque na maior parte das aldeias deste Portugal profundo não havia electricidade e a iluminação fazia-se com candeeiros de petróleo, alguns bem bonitos e que são hoje peças de coleccção.

Foi, por isso, que eu ouvi (a tradição oral das histórias mantinha-se) contar aos meus avós, pais e especialmente a uma tia algumas histórias que nos deliciavam e, por vezes, nos faziam sonhar com lobisomens, bruxas, fantasmas, mouras encantadas,...

Mas também se aprendiam outras histórias, em forma de adivinhas, lenga-lengas ou simplesmente "problemas".

Uma lenga-lenga (não sei se será lenga-lenga) é famosa e ainda hoje é conhecida e diz assim (vou apresentar duas versões):

 

- Passava um gavião por cima de um pombal quando andava a caçar e disse:

- Olá pombal das 100 pombas!

E uma pomba branca respondeu:

- Para serem 100 pombas são precisas estas, outras tantas como estas, metade destas, mais um quarto destas e contigo gavião 100 pombas serão.

Pergunta-se: quantas pombas tinha o pombal?

Esta lenga-lenga em forma de problema exercitava-nos o cálculo e a imaginação

 

 

 

 

Por vezes aparecia outra versão, em que apenas os valores eram diferentes e dizia o gavião:

- Olá pombal das 100 pombas!

E mais uma vez respondia a pomba:

- Para serem 100 pombas são precisas estas, outras tantas como estas, mais um quarto destas e contigo gavião 100 pombas serão.

Quantas pombas tinha o pombal?

 

Em qual das versões tinha mais pombas?

 

Parece fácil responder. É uma questão de um pequeno raciocínio.

 

Podemos acrescentar uma outra versão que não tem a ver com a tradição e que pode ser traduzida do seguinte modo:

 

A pomba ao responder ao gavião afirma:

- Para serem 100 pombas, são precisas estas, o triplo destas, mais metade destas e contigo gavião cem pombas serão.

Neste caso, quantas pombas tinha o pombal?

 

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publicado por Frantuco às 19:33
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Sábado, 25 de Outubro de 2008

Números e cálculo mental

Muitos dos padrões, regularidades, conexões ou simplesmente relações invulgares entre os números ou dos números não têm aplicações práticas e funcionam muitas vezes, apenas, como curiosidades que servem para entusiasmar quem se interessa pela linguagem numérica.

 

No entanto, nada nos garante que, no futuro, muitas das regras, axiomas, postulados, conjecturas, teoremas, demonstrações relativos aos números e, que hoje, apenas importam enquanto ciência, não venham a ter, como a grande maioria dos conhecimentos que o Homem obteve, aplicações práticas importantes para o desenvolvimento da sociedade e da humanidade.

 

O que vamos apresentar hoje não é curiosidade dos números. Tem a ver com a nossa capacidade de cálculo mental e de análise.

 

Imaginemos que estamos conversando com um amigo ao qual pedimos para nos dizer um número de três algarismos diferentes (convém que sejam diferentes – torna-se mais interessante).

 

O nosso amigo diz-nos

                                                                         

                                                          572

 

O que fazemos com este número?

 

Dizemos ao nosso amigo que para ele escrever o algoritmo de uma adição com várias parcelas em que a primeira é o número que ele nos disse.

                       

                                                                            572

 

 

 

 

                                                                  

                                                                   +__________

                                                                      3 1 0 8

 

 

- A adição está incompleta – dirá o nosso amigo e qualquer leitor. Nesta altura nós dizemos:

 

- Coloca debaixo da primeira parcela todos os restantes números que se podem escrever com os mesmos algarismos, que, neste caso são 5,7,2.

 

Quantos números é possível escrever com estes algarismos?

 

O nosso amigo vai escrever 527, 725, 752, 275 e 257. Em seguida vai somá-los todos (incluindo o primeiro):

 

572 + 527 + 725 + 752 + 275 + 257 = 3108

 

Podem experimentar, o resultado está certíssimo.

 

Podemos continuar com as operações e estabelecer algumas relações/conexões.

 

Se dividirmos                   

                                                      3 108 : 14 = 222

 

Mas, perguntarão:

 

- Porquê dividir por 14?

 

Vamos tentar fazer uma pequena investigação.

 

 Vamos tentar descobrir quantas somas é possível obter, tendo em atenção os seus algarismos.

 

Para facilitar os cálculos façamos uma tabela:

 

- A soma menor que é possível obter é 3, considerando que os algarismos são todos diferentes e incluímos o zero, embora à esquerda do número não tenha qualquer valor.

 

 

SOMAS Algarismos Total - grupos
3 0,1,2  1
4 0,1,3  1
5 0,1,4//0,2,3  2
 6 0,1,5//0,2,4//1,2,3  3
 7  0,1,6//0,2,5//0,3,4//1,2,4  4
 8  0,1,7//0,2,6//0,3,5//1,2,5//1,3,4  5
 9  0,1,8//0,2,7//0,3,6//0,4,5//1,2,6//1,3,5//2,3,4  7
10  0,1,9//0,2,8//0,3,7//0,4,6//1,2,7//1,3,6//1,4,5//2,3,5  8
11  0,2,9//0,3,8//0,4,7//0,5,6//1,2,8//1,3,7//1,4,6//2,3,6//2,4,5  9

12

0,3,9//0,4,8//0,5,7//1,2,9//1,3,8//1,4,7//1,5,6//2,3,7//2,4,6

//3,4,5

10
 13

0,4,9//0,5,8//0,6,7//1,3,9//1,4,8//1,5,7//2,3,8//2,4,7//2,5,6

//3,4,6

10
 14

0,5,9//0,6,8//1,4,9//1,5,8//1,6,7//2,3,9//2,4,8//2,5,7//3,4,7

//3,5,6

10
 15

0,6,9//0,7,8//1,5,9//1,6,8//2,4,9//2,5,8//2,6,7//3,4,8//3,5,7

//4,5,6 

10
 ............   ...................................................................  .....

 

Espero não me ter enganado.

 

Quantos grupos é possível formar cuja soma seja 17? E para a soma 22? E qual é a maior soma que é possível obter com algarismos diferentes? Quantos grupos é possível formar para obter essa soma?

 

Com os algarismos 6, 9, 8 podemos escrever 986, que é o maior número que é possível escrever com estes algarismos. Se 986 for a primeira parcela de uma adição, em que as outras cinco parcelas são formadas pelos mesmos algarismos, a soma será 5106?

 

Para confirmar é escrever os números e fazer as contas.

 

Se dividirmos 5106 por 23 vai dar um quociente igual a 222. Lá vem o 222.

E porquê dividir por 23? Exactamente, é isso mesmo: a soma dos algarismos do número 986.

 

Será que este resultado se obtém com qualquer número de três algarismos?

É fazer a experiência.

 

Agora já podemos tentar descobrir os seis números que somados dão uma soma de 4662.

 

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Quarta-feira, 22 de Outubro de 2008

Poesia Matemática

Este poema já é famoso. Foi escrito e publicado em 1954 por um poeta e escritor brasileiro, Millôr Fernandes, num livro chamado "Tempo e Contratempo"

 

 

Poesia Matemática

 

 

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.


 Millôr Fernandes [1923 -      ]

publicado por Frantuco às 14:46
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Quinta-feira, 16 de Outubro de 2008

Os algoritmos - raiz quadrada não exacta

A situação anterior diz respeito a uma raiz exacta, isto é, o número 66 564 é um quadrado perfeito.

 

A situação que vamos propor corresponde a um número que não é um quadrado perfeito, que resulta de elevar ao quadrado a raiz que vamos calcular e que vai ter duas casas decimais, isto é, vamos fazer uma aproximação às centésimas.

Consideremos a extracção da raiz quadrada do número 2745, aproximada às centésimas. Como proceder?

 

  • Escrevemos o número debaixo do sinal de radical, dividimo-lo em classes de dois algarismos da direita para a esquerda, colocamos uma vírgula à direita do 5 e acrescentamos quatro zeros (são dois zeros para cada casa decimal na raiz).

 

Quanto ao resto procedemos como no caso anterior.

 

  • Calculamos o maior quadrado perfeito imediatamente inferior à classe mais à esquerda, que é 27, neste caso. O quadrado é 25.

 

E continuamos tal como fizemos no caso anterior.

 

A cada classe de dois algarismos corresponde, na raiz, apenas um algarismo. O nosso número com os zeros acrescentados tem oito algarismos e a raiz apenas quatro. A raiz não é exacta porque obtemos um resto – 0,2879.

 

 

 

Vamos agora verificar se a raiz está correctamente calculada, aplicando a operação inversa. Vamos multiplicar

 

52,39 x 52,39 = 2744 , 7121

 

Como verificamos elevando a raiz ao quadrado obtemos um valor próximo do número inicial que é outra maneira de nos indicar que a raiz não é exacta.

 

Se adicionarmos o resto 0,2879 dá exactamente

 

2744,7121 + 0,2879 = 2745

 

Mas ainda temos de verificar se esta raiz é a mais aproximada, por defeito, até às centésimas. Para isso basta escrever o número com a centésima a seguir à da raiz que é


52,40 x 52,40 = 2745,76

 

Será que este número podia ser a raiz de 2745 a menos de uma centésima? Porquê?

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publicado por Frantuco às 14:39
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Domingo, 12 de Outubro de 2008

Os algoritmos - raíz quadrada

Tal como como dissemos no artigo anterior há muitos algoritmos que foram sendo esquecidos, e, hoje, já são pouco conhecidos. Vamos apresentar o algoritmo da raíz quadrada, que é bastante interessante

 

Problema B

 

Um agricultor tem um campo quadrado com uma área de 66564m2, onde quer fazer a plantação de um pomar devidamente organizado em filas de árvores, com espaços regulares entre elas. Para fazer isso precisa de saber as dimensões do terreno, sem ter de o medir. Como proceder?


Como o terreno é quadrado só precisa de calcular a medida do lado do terreno. Sabendo que a área é l2 basta utilizar a operação inversa: calcular a raíz quadrada da área.


Com uma máquina elementar fazia-se o cálculo rapidamente, mas o nosso agricultor sabe pouco dessas coisas e funciona um pouco à maneira antiga e então decidiu calcular a raíz quadrada utilizando o algoritmo tradicional.

 

  • Escreve-se debaixo do símbolo de radical o número que representa a área.
  • Divide-se em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.
  • Calcula-se o quadrado de um número que seja imediatamente inferior ao número da classe mais à esquerda e subtrai-se. Neste caso é 4 = 22. Dois (2) é o algarismo mais à esquerda da raíz quadrada (comprimento do lado).
  • Baixa-se a classe seguinte. Dobra-se o primeiro algarismo da raíz – 2 x 2 = 4 e coloca-se por baixo. Calcula-se um algarismo x que se coloca ao lado do 4 (neste caso) e multiplica-se o número obtido por esse x de modo a obter um número o mais próximo possível, por defeito, do número 265.
  • Esse algarismo não é 9, nem 8, nem 7, nem 6, mas 5 porque 45 x 5 = 225 e subtrai-se ao 265. O cinco (5) é o segundo algarismo da raiz.
  • Agora baixamos à direita do 40 a classe seguinte que é 64. Dobra-se o valor da raíz já encontrado – 25 x 2 = 50 e coloca-se por baixo. Calcula-se um algarismo x que se coloca ao lado do 50 (neste caso) e multiplica-se por esse x de modo a obter um número o mais próximo possível, por defeito, do número 4064.
  • Esse algarismo não é 9, mas 8, porque 508 x 8 = 4064 e subtrai-se ao 4064. Como a diferença final é zero, então estamos perante uma raíz exacta, o que está de acordo com os dados do problema.

 

O terreno é um quadrado de 258 x 258 m.

 

O nosso lavrador já pode fazer as contas e calcular quantas laranjeiras vai plantar sabendo que a distância entre filas e laranjeiras é a mesma e é de cinco (5) metros.

 

Façam as contas e digam ao lavrador quantas filas vai fazer, quantas laranjeiras vai ter cada fila e quantas são no total (Nota: não se esqueçam que as árvores não podem ficar em cima da vedação).

 

E, agora, para treinar calculem, utilizando este método, que depois podem confirmar usando a máquina de calcular, a raíz quadrada de

328 156.

 

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Segunda-feira, 6 de Outubro de 2008

Os algoritmos - algoritmo de Euclides

Comecemos por fazer uma pergunta: o que é um algoritmo?


Se falarmos de computadores um algoritmo é uma sequência de instruções que é executada numa determinada ordem até que uma condição se verifique.


Mas, matematicamente, é um conjunto de processos e de símbolos utilizados para efectuar um cálculo.


Quer isto dizer que antes de haver computadores já existiam algoritmos e eram as maneiras práticas que os matemáticos descobriram e utilizavam para fazer cálculos. É assim que temos algoritmos para as diferentes operações aritméticas, adição, subtracção, multiplicação e divisão, que todos nós utilizamos no dia a dia, embora, por exemplo, a mesma multiplicação se possa efectuar de várias maneiras diferentes e apesar dos computadores ainda são utilizados(voltaremos a este assunto).


Há, no entanto alguns algoritmos, já bem antigos que deixaram de ser utilizados, mas que facilitavam muito os cálculos. De entre esses, destacamos dois: o algoritmo de Euclides e o algoritmo da raiz quadrada.


Vejamos um exemplo para cada um dos casos.


Problema A


Um fabricante de enfeites de Natal tem em armazém dois tipos de bolas, 11466 vermelhas e 7128 prateadas. Para controlar os custos das embalagens quer embalar as bolas em caixas todas iguais e pretende saber qual o número máximo de bolas da mesma cor que deve levar cada embalagem de modo que não sobre nenhuma. E quantas embalagens vai fazer com as bolas de cada cor?

 

Para resolver o problema tem de calcular um número que simultaneamente seja divisor do número (11466) que representa as bolas vermelhas e do número (7128) que representa as bolas prateadas.

 

E como deve ser divisor e ser o número máximo de bolas que divide os dois números, então só pode ser o máximo divisor comum dos dois.

 

Uma das formas de resolver o problema é utilizar a decomposição em factores primos.

 

A outra, que é a que nos interessa é utilizar o algoritmo de Euclides ou método das divisões sucessivas para o calcular o

 

m.d.c (11466, 7128) =

 

Vamos então utilizar as divisões sucessivas, começando por dividir o número maior pelo menor

 

Fomos fazendo divisões em que o divisor passa a ser o dividendo seguinte e o resto passa a ser divisor até que atingimos uma última divisão que dá resto zero.

 

O último divisor, neste caso 18 é o maior divisor comum de 11466 e 7128.

 

Este resultado permite-nos afirmar que as caixas para embalar as bolas de Natal devem conter 18 bolas cada uma.

 

E quantas caixas?

Basta fazer duas divisões:

 

         11466 : 18 = 637                                7128 : 18 = 396

 

Em conclusão:

 

As bolas vermelhas são embaladas em 637 caixas de 18 bolas e as prateadas em 396 caixas de 18 bolas.

 

Duas questões:

 

Que relação existe entre o m.d.c 18 e os restos que foram sendo obtidos ao longo das divisões efectuadas?

 

Como fazer para calcular o m.m.c (11466, 7128)?

publicado por Frantuco às 20:15
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Quinta-feira, 2 de Outubro de 2008

Sequências de somas de cubos

Hoje vamos apresentar um novo desafio que é mais uma pequena investigação. Não tem a ver com questões práticas, mas permitem-nos descobrir relações entre os números que são bastante interessantes.

 

Podemos chamar à investigação que vamos fazer “somas de cubos”. Em que consiste? A palavra cubo tem a ver com o número 3. Assim, propomos que se seleccione um número de dois algarismos que seja múltiplo de três (3). Vamos escolher, por exemplo, o 15. Em seguida calculamos os cubos dos seus algarismos e somamos; ao novo número fazemos a mesma coisa: cubos dos algarismos e soma; continuamos o processo até que verifiquemos que alguma coisa está a acontecer:

 

15 ----- 13 + 53 = 1 + 125 = 126

126 --- 13 + 23 + 63= 1 + 8 + 216 = 225

225 ---- 23 + 23 + 53 = 8 + 8 + 125 = 141

141 ---- 13 + 43+ 13 = 1 + 64 + 1 = 66 

66 ------ 63 + 63 = 216 + 216 = 432

432 ---- 43 +  33 +  23 = 64 + 27 + 8 = 99

99 -----  93 + 93 = 729 + 729 = 1458

1458 -- 13 + 43 + 53 + 83 = 1 + 64 + 125 + 512 = 702

702 -----73 + 23 = 343 + 8 = 351

351 ---- 33+ 53 + 13 = 27 + 125 + 1 = 153

153 ---- 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153

 

A partir deste momento temos a certeza que o resultado se vai repetir indefinidamente, porque os algarismos são os mesmos – 1, 5, 3.

 

- Propomos que se faça o mesmo com todos os números de dois algarismos múltiplos de 3. Descrever o que acontece. Qual é o número que precisa de mais operações (passos) até se começar a repetir? Qual foi a soma mais elevada que se atingiu?  

                                        

Sugere-se a elaboração de uma tabela para se verificarem mais facilmente os resultados obtidos; ou então um percurso com os valores obtidos com os diferentes números.

 

 Se começarmos por utilizar os números divisíveis por 3 com dois algarismos, vamos conseguir um conjunto de números que depois de ligados de acordo com as somas obtidas obtemos uma série de percursos até atingirmos o mesmo número, que a partir daí se repete indefinidamente.

Vamos começar pelo menor número de dois algarismosdivisível por 3:

  

 

 

12     9      729      1080      513      153

21 …………………………………..  153

 

 

15   126    225    141    66    432   99   1458    702    351   153

51 ……………………………………………………………..  153 

 

18      513       153

81 …………...153

 

24      72       351       153

42 …………………... 153 

          

Parece ser evidente, neste momento, que todas as sequências vão terminar no número 153.

 

Façamos mais algumas somas, utilizando números maiores:

                 

99    1458    702    351     153

 

 

78    855     762    567     684     792    1080    513     153

87………………………………………………………... 153

 

60    216     225   141    66    432    99   1458    702   351   153

6……………………………………………………….............. 153

 

36     243      99      1458      702      351     153

63 …………………………………………..... 153

 

Podemos agora confirmar as observações que referimos anteriormente e que nos parecem interessantes:

  • Os percursos dos números até 153 não dependem da sua grandeza: o maior percurso que obtivemos foi o do 60 e simultaneamente do 6 com dez (10) passos, assim como do 15 e do 51. Já o 18 e o 81 precisaram apenas de dois (2) passos. 
  • As somas obtidas ora crescem ora decrescem de forma irregular e a maior soma obtida foi 1458 e embora os percursos maiores também tenham a soma maior, nem sempre isso acontece. O percurso de 99 tem 4 passos e a soma maior, mas o percurso de 87 tem 8 passos e a soma maior é 1080.
  • Se somarmos os dois números que têm o mesmo percurso (estão agrupados dois a dois) dão origem a uma capicua de algarismos iguais desde que a soma seja menor que 100:

             15 + 51 = 66

             26 + 62 = 88

            

Mas se somarmos 78 + 87 = 165 (não é capicua); mas podemos continuar:

 165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884 - já é capicua; mas foram precisas quatro somas.

 

Se calcularmos as somas de todos os números de dois algarismos, múltiplos de três, e tentarmos fazer um diagrama com os percursos todos, obtemos uma figura parecida com a que se segue: 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

 

 

Pode alargar-se a investigação e utilizar os números múltiplos de 3 menos 1.

Por exemplo: 3 x 12 – 1 = 35.

 

35 ----- 33+ 53 = 27 + 125 = 152

152 --- 13 + 53 + 23 = 1 + 125 + 8 = 134

134 --- 13 + 33 + 43 = 1 + 27 + 64 = 92

92 ----- 93+ 23 = 729 + 8 = 737

737 --- 73 + 33 + 73 = 343 + 27 + 343 = 713

713 --- 73 + 13 + 33 = 343 + 1 + 27 = 371

371 --- 33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1 = 371

 

A partir deste momento mais uma vez os números começam a repetir-se e vão dar sempre 371.

 

- Propomos mais uma vez que se utilizem os outros números de dois algarismos da forma 3N – 1 e analisar os resultados e tentar tirar conclusões. Será que a soma final é sempre 371?

 

Para terminar, experimentar com os números da forma 3N + 1.

Pode começar-se, por exemplo, pelo número 3 x 21 + 1 = 64. 

 

 

64 -----  63 + 43 = 216 + 64 = 280

280 ---  23 + 83 = 8 + 512 = 520

520 ---  53 + 23 = 125 + 8 = 133

133 --- 13 + 33 + 33 = 55

55 ----- 53 + 53 = 125 + 125 = 250

250 --- 23 + 53 =  8 + 125 = 133

 

Neste caso acaba-se num conjunto cíclico de números. Será que acontece com todos os números de dois algarismos da forma 3N+1?

 

- Sugere-se ainda uma outra investigação: começar com números maiores, por exemplo, de três algarismos, ou utilizar potências de grau superior a três.

 

(Desenvolvido a partir de Bolt, Brian – Mais Actividades Matemáticas)

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