Quarta-feira, 26 de Novembro de 2008

O relógio, as horas e os ângulos

Os relógios digitais destronaram os relógios de ponteiros, que são hoje  considerados quase como relíquias.

O relógio da imagem tem como todos os relógios tradicionais três ponteiros e tem os números de 1 a 12.  Esta breve observação permite-nos concluir que é possível encontrar algumas curiosidades matemáticas e até questões matemáticas que exigem um raciocínio apurado. Vamos propor um pequeno desafio:

 

- Com três segmentos de recta dividir o mostrador do relógio em três partes de modo que as somas dos números de todas as partes sejam iguais.

 

É possível através de um modelo do mostrador do relógio com apenas os números descobrir o número que uma qualquer pessoa escolha. Esta "magia"  também tem  a ver  com regularidades matemáticas.

Mas, o desafio que queremos propor aos leitores é um clássico que quando aparece conduz vulgarmente a discussões acaloradas.

Se olharmos para a posição dos ponteiros das horas e dos minutos vemos que fazem um deterninado ângulo, que neste caso é obtuso (tem mais de 900). Na realidade os ponteiros formam dois ângulos, um convexo (neste caso o ângulo obtuso referido) e um côncavo (o ângulo maior que vai do 6 até ao ponteiro das horas a seguir ao número 2).

Se acompanharmos durante algumas horas os ponteiros do relógio chegaremos a algumas conclusões interessantes: os ponteiros fazem ao longo de 24 horas uma infinidade de ângulos agudos (menores que 900) e de ângulos obtusos. Fazem alguns ângulos rasos (ângulos de 1800). E perguntamos nós: Quantos em 24 horas?

 

Contudo, o que nos interessa estudar é quantos ângulos rectos (ângulos de 900) formam os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio durante 24 horas. E a que horas fazem os ponteiros esses ângulos?

 

Vamos dar algumas sugestões para que os leitores possam encontrar as respostas.

As duas perguntas estão relacionadas e para responder a uma temos de responder à outra.

Às 3 horas e às 15 (3 da tarde), às 9 e às 21 horas forma-se um ângulo exacto de 900. Já são 4. Mas também se formam ângulos rectos perto das 3 horas e 30 minutos e perto das 9 horas e 30 minutos. Quer dizer no espaço de uma hora formam-se dois ângulos. Será sempre assim?

Vamos pressupor que a velocidade dos ponteiros é uniforme. Deste modo o  ponteiro dos minutos (o ponteiro maior) demora 60m a fazer um ângulo de 3600, ou seja, o arco que corresponde a 5m tem 300 e logo 1m corresponde a 60.  O ponteiro das horas é muito mais lento e assim demora 12h para fazer um ângulo de 3600, isto é, 1h para 300 e 0,50

para 1m. 

O relógio que apresentamos marca 3 horas e faz um ângulo recto. 



O próximo ângulo recto devia ser às 3h e 30m se o ponteiro das horas não se deslocasse. Mas não é isso que acontece. O ponteiro dos minutos desloca-se 1800 (meia hora) e o das horas desloca-se 150 ou seja 0,50 por minuto.

Deste modo o relógio não faz ângulo recto às 3h30m, mas mais tarde.

Vamos ver quando.

Como o ponteiro das horas se desloca 150, então o ângulo às 3h30m é apenas de 750.  Para obtermos um ângulo de 90temos de fazer as seguintes operações: 

90= 750 + 6t - 0,5t        

900 - é o ângulo que queremos obter

750 - é o ângulo que os ponteiros fazem às 3h30m

6t - 6 é o ângulo que o ponteiro dos minutos faz num minuto e t é o número de minutos que percorre até formar um ângulo de 900. É o valor de t que queremos calcular para sabermos as horas a que os ponteiros voltam a fazer um ângulo recto 

0,5t - 0,5 é o ângulo que o ponteiro das horas faz num minuto e t é o número de minutos que percorre até formar um ângulo de 900, que é igual ao anterior.

Calculando o valor de t  vamos obter t = 16/5,5  ou seja  t = 2,72727272

Transformando t em minutos e segundos dá t = 2m 44s (aprox.)

Daqui se conclui que o novo ângulo recto se obtem às 3h30m + 2m44s = 3h32m44s.

Todos os outros ângulos se obtêm de modo semelhante e a partir das 3 horas ou a partir das 9 horas, quando se obtem um ângulo recto às 9h exactas.

Basta calcular o número de ângulos e horas para metade do dia (12h), porque a outra metade será igual.

 

Se pensarmos um pouco e talvez com um esquema se consigam obter as horas.

Há ainda outro desafio a resolver: Quantos ângulos rasos e a que horas se obtêm?

 

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publicado por Frantuco às 23:35
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Sexta-feira, 21 de Novembro de 2008

A decomposição de números e os bombons de chocolate

A decomposição de números em somas é uma das primeiras capacidades/competências da Matemática que os alunos desenvolvem na escola.

Começam por aprender a decompor números até 10. Curiosamente, se tentarmos a decomposição dos números em somas a partir de 1 encontraremos uma regularidade interessante.  

Por exemplo, o número 5 pode obter-se através de um conjunto significativo de maneiras diferentes:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

5 = 2 + 2 + 1

5 = 3 + 1 + 1

5 = 3 + 2

5 = 4 + 1

 

Faltam algumas. Deixo ao leitor a descoberta das outras. Tente fazer o mesmo para os outros números até 10 e descubra a regularidade.

 

Há outros tipos de decomposição  de números. Aliás, o teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número natural maior que 1 e não primo pode decompor-se num produto de números primos ( Por exemplo 45 = 3 x 3 x 5 ou 56 = 2x 7) .

A prática das diferentes maneiras de decompor um número é um óptimo exercício para desenvolver o cálculo mental e os professores utilizam essas técnicas com alguma frequência. 

Qualquer número inteiro pode ser decomposto de acordo com as suas ordens: unidades, dezenas, centenas,... Mas também se sabe, embora ainda não tenha sido demonstrado, que qualquer número par maior que 4 é a soma de pelo menos dois números primos (Por exemplo 28 = 17 + 11 ou 28 = 23 + 5).

Podíamos continuar a falar de outras formas de decomposição de números, mas já está alguém a pensar "Para que é toda esta conversa?". É exactamente para vos apresentar um pequeno desafio que me ocorreu numa aula a que assisti e na qual a professora propunha aos alunos que descobrissem que tipo de número obtinham "Par ou ímpar" ao multiplicarem dois números. É evidente que a resposta dependia dos números iniciais: o produto de dois números pares dá sempre um número par. E um par e um ímpar? E dois ímpares?    

 

Há algum tempo, ao ler o livro "Matemática ao virar da esquina" de Carlos Roque e Luisa Cruz encontrei um problema que propunha desafio semelhante. Aqui vai para quem gosta de desafios matemáticos e de resolver problemas (adaptado):

 

- A minha filha Ana gosta muito de chocolates, mas, tal como outros alimentos, comidos em excesso fazem mal. Deste modo, para controlar o seu apetite por chocolates propus-lhe o seguinte: tens aqui esta caixa de 36 (trinta e seis) bombons de chocolate. Podes comê-los em cinco dias, mas tens de comer em cada dia um número ímpar de bombons e tens de comer bombons em todos os cinco dias propostos.

 

A última parte da proposta justifica-se porque, como é evidente, ela poderia comer (por exemplo) 27 bombons num dia e 9 no outro e lá se iam os 36 bombons; mas assim não cumpria uma das condições da proposta, que era comer bombons todos os cinco dias.

 

Será o leitor suficientemente simpático para ajudar a minha filha Ana a comer os bombons de chocolate?

                                                

publicado por Frantuco às 19:52
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Sexta-feira, 14 de Novembro de 2008

O Problema das idades

 

 

O meu amigo Leonel, que não é "matemático", mas que gosta de coisas ligadas à matemática chamou-me à atenção, há alguns dias, para duas coisas:

- no artigo sobre capicuas referiu a possibilidade de obter capicuas através da multiplicação de um número por 11. Este aspecto vou tentar tratá-lo, posteriormente, num artigo;

- apresentou-me um problema de idades, que exige uma boa capacidade de raciocínio. O meu colega e amigo José Filipe, autor do blog maismat. blogspot.com, achou-o interessante e encontrou uma solução, tirando-me o trabalho.  Os problemas de idades envolvem, por vezes, relações  que são difíceis de entender, mas que acabam por ser um desafio. O problema consta do seguinte:

 

"Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens.

Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será  63.

Quais são as nossas idades nos diferentes tempos?"

 

A resolução deste problema envolve a determinação da relação entre as duas idades (há dois momentos em que a minha idade é o dobro da tua, por exemplo).

Torna-se necessário, para o resolver, estabelecer uma série de relações, tendo em atenção as afirmações constantes do enunciado.

A resolução de problemas envolve, para ser eficaz, um conjunto de etapas, de entre as quais destacamos a construção de uma estratégia que nos permite chegar ao resultado.

Neste caso podemos, além do estabelecimento de relações entre as idades, como já dissemos, ir por tentativas, uma vez que a soma das nossas é em determinada altura 63 anos. Parece-me, no entanto, que essa estratégia seria extremamente morosa e muito difícil de concretizar.

Descobrir um padrão ou regularidade, fazer um desenho, uma tabela, um esquema, fazer uma lista também não me parecem estratégias adequadas, porque os dados do problema não se adaptam a essas formas de resolução.

A dedução lógica é certamente a estratégia mais adequada, neste caso.

Vou sugerir uma forma de resolução considerando que a idade que eu tinha é A e a idade que tu tinhas é B.

Daqui a x anos, a idade que eu tenho é A+x e a que tu tens é B+x. A partir daqui, é interpretar o enunciado do problema e resolvê-lo.

Não se esqueçam que a última etapa da resolução de problemas é verificar o resultado. Este tem de ser compatível com os dados do problema (Por exemplo, a soma das idades tem de ser 63 anos).

Boas resoluções (pode haver outras formas de resolução).

 

 

publicado por Frantuco às 20:31
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Quarta-feira, 5 de Novembro de 2008

CAPICUAS

O que é uma capicua? – perguntamos nós, para quem o termo é um pouco estranho, ou, pelo menos, pouco conhecido.
De acordo com o dicionário de Língua Portuguesa da Porto Editora é um “conjunto de algarismos ou de letras cuja leitura é a mesma quando feita nos dois sentidos”. Vejamos um exemplo com algarismos: 246642 – lê-se da esquerda para a direita “duzentos e quarenta e seis mil, seiscentos e quarenta e dois” e também se lê da mesma forma da direita para a esquerda. As capicuas com letras são muito interessantes. Vejamos alguns exemplos: METEM; REGER; AMOR A ROMA; ASSIM A AIA IA À MISSA; ANOTARAM A MARATONA, e muitos outros.
 
Também é utilizado o termo palíndromo para designar as capicuas. De acordo com o dicionário referido o termo vem do grego “palindromos” que significa “que corre para trás”.
Qual a importância das capicuas ou palíndromos? – é uma pergunta que podemos fazer.
Depende da perspectiva que adoptarmos. Por exemplo, para um coleccionador de bilhetes de eléctrico ou comboio ou cinema que são numerados são importantes já que podem ter números especiais e interessantes e há quem afirme que encontrar um bilhete com uma capicua dá sorte. Dará? Uma coisa é certa – a probabilidade de encontrar um número capicua num bilhete numerado diminui há medida que o número de algarismos aumenta:
Ø      todos os números de um algarismo são capicuas(5, 7,…).
Ø     se considerarmos os números de dois algarismos o número de capicuas diminui substancialmente(vejamos: 11, 22, 33, 44, 55,…).
Ø     e se considerarmos os números de três algarismos? o que acontece? há mais ou menos capicuas do que com dois algarismos? é fácil de verificar: com dois algarismos temos apenas 90 números, enquanto que com três temos cerca de 900 (quantos são ao certo?); logo se considerarmos a primeira centena o primeiro número capicua é 101; e depois vêm 111 – 121 – 131 – 141 – 151,… e na segunda centena – 202 – 212 – 222 – 232,…
Ø      em relação às capicuas de três algarismos o aspecto que para mim é mais curioso é a forma como a podemos obter. A partir de um número de dois algarismos se fizermos adições sucessivas vamos obter uma capicua de três algarismos. Vejamos:
 
     28+82=110
     110+011=121  
 
     37+73=110
    110+011=121
   
    Haverá mais casos? O que têm de especial os números somados? Duas coisas: os mesmos algarismos por ordem inversa e a sua soma é 10 Será que acontece sempre assim?
Ø      e se a soma dos algarismos do número for onze(11)? Por exemplo: 29+92=121; 38+83=121; curioso, não é? Obtemos uma capicua com apenas uma adição. Será sempre assim?
Ø     O que acontecerá com o número 39, por exemplo? 39+93=132
     132+231=363 – duas adições para obter capicua; e se
      utilizarmos o número 57?
      57+75=132 e já estamos a ver que vai acontecer a
      mesma coisa.
Ø      E com o número 59? 59+95=154
     154+451=605
      605+506=1111. Agora precisámos de três adições, mas
     obtivemos capicua.
 
Podemos fazer uma pergunta: haverá alguma ligação entre a soma dos algarismos de um número de dois algarismos e o número de adições necessárias para obter capicua e também o tipo de capicua obtida?
 
Ø      O que acontecerá com o número 87 cuja soma é quinze (15)?
      87+78=165
     165+561=726
     726+627=1353
     1353+3531=4884
Capicua com quatro adições.
 
E se utilizarmos o número 96, cuja soma também é 15.
96+69=165… É evidente, a partir daqui que todos os números cuja soma dos algarismos seja 15, precisam de 4 adições para dar capicua.
 
Para terminar esta forma de obter capicuas vamos verificar se é possível obtê-las utilizando números com três, quatro, cinco,… algarismos.
Vejamos:
 
345+543=888
 
678+876=1554
1554+4551=6105
6105+5016=11121
11121+12111=23232(capicua) – os números escolhidos têm três algarismos consecutivos.
 
O que acontecerá se não for assim?
291+192=483
483+384=867
867+768=1635
1635+5361=6996 (capicua!)
 
E números com mais de três algarismos?
47286+68274=115560
115560+065511=181071 …
Depois de um número significativo de adições (15) não obtivemos capicua. Será que conseguiremos obtê-la ou ter-nos-emos enganado nas operações. Deixamos este desafio para os leitores.
 
O assunto das capicuas é muito vasto. Voltaremos a este assunto e a apresentar outras características e curiosidades das capicuas.

 

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publicado por Frantuco às 12:09
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Domingo, 2 de Novembro de 2008

DINHEIRO FALSO

O problema que apresento como desafio é clássico e foi adaptado aos tempos que correm. Daí que os valores que constam se apresentem em euros. No entanto, essa questão é a menos importante. Importante mesmo é a reflexão que podemos fazer à volta dele.

 

O meu amigo João Pedro tem uma livraria em Coimbra. Há cerca de duas semanas,assim que abriu a livraria, entrou lá um senhor com um ar distinto. Escolheu um livro que custava 10 euros e entregou uma nota de 50 euros para pagar. Como não tinha troco, o João Pedro foi ao café em frente para trocar a nota. Voltou, guardou 10 euros na caixa registadora e deu 40 euros de troco ao senhor. Este guardou o troco, pegou no livro que já estava embrulhado e foi-se embora. Minutos depois, o dono do café entra na livraria muito aflito e diz:

 

 - Esta nota de 50 euros que você me deu há bocado é falsa. Ora veja lá!

 

 O João Pedro pegou na nota e examinou-a com atenção. Não havia dúvidas. A nota era mesmo falsa. Por isso, lamentando a sua sorte, teve de devolver 50 euros ao dono do café, o senhor Alfredo.

As pessoas, que estavam na livraria e que assistiram à conversa, ficaram por ali a comentar o sucedido.

 

- Isto é que foi um prejuízo! - disse a Lena. Foram 100 euros: 10 euros do livro, mais 40 euros que o vigarista levou, mais os 50 euros que tiveste de devolver ao senhor Alfredo.

 

- Não, não - corrigiu a Paula. Foram 90 euros. Estás a esquecer-te que o João Pedro guardou 10 euros na caixa registadora.

 

 

 - Nenhuma de vocês tem razão - afirmou o Miguel, um asturiano que lá estava de passagem. O prejuízo foi de 60 euros: 50 euros da nota falsa e 10 euros do livro que ele levou.

 

 

 A discussão generalizou-se, mas não conseguiram chegar a conclusão nenhuma.

 

Perguntamos nós:

- Afinal, qual foi o prejuízo do João Pedro?

 

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publicado por Frantuco às 19:16
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