Sábado, 20 de Dezembro de 2008

A travessia da ponte

Gosto  muito de fazer caminhadas. Já encontrei algumas situações difíceis, mas nunca uma situação semelhante à que vou descrever no problema que vou apresentar. Pelo menos, em Portugal, não conheço nenhuma ponte que suporte apenas duas pessoas de cada vez. Esta parece mais uma ponte das que aparecem nos filmes de aventuras, tipo Indiana Jones. Só na minha infância tenho a vaga lembrança de ter atravessado um ribeiro por cima de um tronco de azinheira, mas foi apenas circunstancial. Vou então contar a história do problema, que é inventada.

Alguns elementos da família Crespo, que tem uma casa perto do rio Erges, decidiram há tempos fazer uma caminhada até à confluência com o rio Tejo. Como não conheciam bem o percurso decidiram ir ao longo do rio, esperando regressar antes do anoitecer. Caminharam, caminharam e chegaram ao Tejo. Decidiram regressar por outro caminho que não conheciam e numa certa altura verificaram, com surpresa, que para continuarem tinham pela frente uma ponte de corda, bastante estreita, alta e periclitante.

 

 (Imagem retirada da lnternet)

Entretanto a noite aproximava-se e era necessária uma luz para fazer o caminho. O pai que era homem previdente tinha levado uma pilha. Era preciso atravessar a ponte o mais depressa possível. Os quatro "aventureiros" aproximaram-se e estudaram a ponte e verificaram que:

- O Ângelo era capaz de atravessar a ponte em 5 minutos;

- A Laura, irmã do Ângelo, disse ser capaz de fazer o percurso em 7 minutos;

- O pai Geraldo, disse que já estava um pouco cansado e que demoraria pelo menos 11 minutos;

- O avô Marcelo disse que demorava seguramente 20 minutos.

Era preciso actuar rapidamente, já era noite e a travessia tornava-se mais difícil. Decidiram então estabelecer um plano, depois de verificarem que apenas dois de cada vez poderiam atravessar a ponte e era necessário utilizar sempre a única luz que possuíam.

 

Como deviam os quatro aventureiros organizar a travessia da ponte, de modo a demorarem o menor tempo possível?

 

Imaginem agora que em vez de quatro eram cinco aventureiros e o quinto, o sobrinho do pai Geraldo, o Leandro, fazia o percurso em oito minutos. Neste caso, quanto tempo demorariam os aventureiros a atravessar a ponte? Como deviam proceder?

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publicado por Frantuco às 01:08
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Quinta-feira, 11 de Dezembro de 2008

O carteiro, as idades e o número da porta

Alguns dos problemas que apresento são memórias da minha infância.

O problema que hoje vou apresentar não sei se tem a ver com a personagem que vou descrever, mas o carteiro existiu.

Já lá vão algumas décadas, ainda os carteiros se deslocavam a pé e eram figuras que todos  conheciam  e apreciados por todos. Na minha terra, para não falar das outras, as portas não tinham número, as ruas eram conhecidas por nomes tradicionais como "Castelo", "Devesa", "Nave", "Praça", "Adro", "rua da Prensa", rua do Poço Novo", "rua do Poço Concelho",... e as pessoas eram muitas vezes conhecidas apenas pelas alcunhas (e não vou dizer algumas para preservar a identidade das pessoas), bem curiosas. Contudo, o carteiro estava lá há tantos anos que já os conhecia todos e a todos cumprimentava e era cumprimentado por todos.

 

Ainda estou a vê-lo, alto, forte, com uns enormes bigodes retorcidos, que fariam inveja a qualquer monárquico, que eu não sei se ele era, mas parecia ter tomado por modelo o rei D. Carlos.

O sr. Fernando era um homem folgazão, divertido, tocador de viola, animador de bailes, grande contador de histórias e pregador de partidas.

Como disse, o sr. Fernando conhecia toda a gente, mas um dia apareceu na vila uma família que tinha três filhas e um cão, o Piloto, que ele não conhecia e que veio instalar-se, porque o sr. Torneiro vinha trabalhar para uma fábrica de moagem e também ele gostava de histórias e de pregar partidas.

Na primeira vez que o sr. Fernando levou a casa do sr. Torneiro uma carta, a sua curiosidade não resistiu e tentou saber algumas coisas sobre a família Torneiro. Manteve com este um diálogo parecido com o que se segue:

- Então sr. Torneiro, vai ficar cá muito tempo? E a família está a dar-se bem?

- Vou ficar até que Deus queira e minha família gosta muito da terra - respondeu o sr. Torneiro.

- Os seus filhos já são crescidos?

 Aqui, o sr. Torneiro aproveitou e lançou o seguinte desafio ao sr. Fernando:

- Tenho três filhas e se multiplicar as suas idades obtém 72, e se as somar obtém exactamente o número da minha porta (o sr. Torneiro vivia numa rua onde as portas foram as primeiras a ser numeradas).

O sr. Fernando que não negava um bom desafio, pegou num lápis e num papel,  fez algumas contas e disse:

- Oh sr. Torneiro, tem de me dar mais alguns elementos, que eu assim não tenho dados suficientes para descobrir as idades das suas filhas.

O sr. Torneiro respondeu:

- Tem toda a razão. Já agora também lhe digo que o cão da minha filha mais velha se chama Piloto.

Imediatamente o sr. Fernando fez algumas operações e disse:

- Agora lhá lhe posso dizer as idades das suas filhas.

E o leitor é capaz de descobrir as idades das filhas do sr. Torneiro, e o número da porta?

Sabendo que o sr. Fernando começou por descobrir as diferentes factorizações do número 72 e as somas dos factores que correspondiam às idades das meninas, tente descobrir:

 

                      Factorização                                      Soma das idades

 

                    1 x 1 x 72 = 72                                        1 + 1 + 72 = 74

                     ........................                                        ..........................

 

E não faço mais. Contudo posso já dizer que as irmãs nâo tinham 1, 1 e 72 anos. Era impossível. Se continuarem a procurar todas as factorizações do 72 e fizerem um pequeno raciocínio, chegarão facilmente à resposta. Fico à espera dos vossos comentários.

   

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publicado por Frantuco às 23:36
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Sexta-feira, 5 de Dezembro de 2008

A herança do lavrador

Há várias versões deste quebra-cabeças, uma das quais se refere à divisão de uma herança de camelos por três irmãos, cuja origem está ligada à cultura árabe.

Fazem parte das minhas memórias de infância alguns problemas, que parecem mostrar que a nossa cultura foi buscar muitos elementos à cultura árabe, que, além das muitas palavras que têm a sua origem no árabe, das construções, dos produtos medicinais e especiarias, também deixaram muitas questões ligadas à cultura matemática, nomeadamente problemas que acabaram por sofrer adaptações e foram integrados na cultura popular. Um desses problemas tem a ver com a herança do lavrador e que na minha terra era "contado" como uma herança de bois ou de cavalos.

Havia duas versões, donde emergia sempre o contador de histórias ou o vizinho ou o "sábio" que salvava a situação, sem nada receber em troca. Funcionava apenas como uma boa acção a resolução do problema.

E a "história" rezava assim:

Há muito tempo vivia numa aldeia da Beira Baixa, junto do rio Tejo, um lavrador que tinha 17 cavalos; sentindo aproximar-se a morte, mandou chamar os três filhos aos quais disse o seguinte:

"Como  sabem, toda a vida trabalhei na agricultura e tive cavalos, que quero que vocês recebam como herança que deve ser assim: tu, José, porque és o mais velho, ficas com metade dos cavalos; o João, que vem a seguir fica com um terço e tu, Joaquim, ficarás com um nono. Não se esqueçam que os cavalos são animais nobres e não devem ser maltratados".  

                   

Ficaram os filhos do lavrador com um problema, porque, ao tentarem dividir os cavalos, as contas não davam números exactos e não podiam dividir os cavalos aos bocados. Quem salvou a situação foi o vizinho Álvaro, homem experiente e sabedor que juntou os irmãos e lhes disse assim:

 

- Este meu cavalo juntamente com os vossos faz o número 18. Se dividirmos 18 em duas metades, o José fica com 9 cavalos; a terça de parte de 18 é 6, que são os cavalos do João e a nona parte de 18 é 2, que são os cavalos do Joaquim. Assim fica respeitada a vontade de vosso pai porque 9 + 6 + 2 = 17. E vou para a minha casa e levo o meu cavalo.

 

Tentem os leitores descobrir a razão porque todos os irmãos ficaram a ganhar e não foi preciso matar nenhum cavalo para que as partilhas se fizessem e os irmãos ficassem contentes e agradecidos ao vizinho Álvaro, cuja fama cresceu nas povoações em volta.

 

A outra versão, envolve um número de animais diferente. São 19 animais e não podem ser feridos e a partilha deve ser feita do seguinte modo: 

 

- o filho mais velho do lavrador deve receber metade dos animais; o do meio deve receber 1/4 e o mais novo a quinta parte.

 

Propomos aos leitores que ajudem os filhos do lavrador a resolver o quebra-cabeças, quantos animais vai receber cada um e descubram a razão porque mais uma vez vão ficar todos favorecidos.

 

publicado por Frantuco às 18:58
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