Quarta-feira, 28 de Janeiro de 2009

Algoritmos - A fórmula de Heron

No post anterior apresentei um algoritmo que nos permite calcular a área de um polígono simples se a unidade de área for uma quadrícula. A sua apresentação foi suscitada por um problema de áreas, posto por um amigo que pretendia colocar azulejos, formando figuras de formas diversas, nas paredes da sua loja. Para o podermos fazer tivemos de transformar em ponteado (à escala) os polígonos a construir. Verificámos que, apesar de termos utilizado um algoritmo que facilitou os cálculos, encontrar a solução não foi fácil.

 

Hoje, pretendemos apresentar um algoritmo que, no nosso entender, facilita enormemente o trabalho quando se trata de triângulos. É um modelo que já tem perto de 2 mil anos e de fácil aplicação.

 

Segundo  a fórmula tradicional a área de um triângulo calcula-se aplicando a fórmula:

 

                                                              At = b x h/2

 

O novo algoritmo dispensa a altura, que no caso em apreço era difícil de obter e precisamos apenas das medidas dos comprimentos dos lados. Vejamos um caso concreto:   

                               

Se aplicarmos a fórmula tradicional a área do triângulo, considerando como base o lado de cima, é:

 

                                                  At = 12 x 8/2

                               At = 48 quadrículas

 

Se aplicarmos a nova (velha) fórmula a área calcula-se da seguinte maneira:

                          

                                           
Como se verifica o resultado é o mesmo - 48 quadrículas. Falta esclarecer o que representam os números que aparecem debaixo do símbolo de radical.

 

16 é o semi-perímetro do triângulo (na fórmula vamos representar por s);

12, 10 e 10 são as medidas dos comprimentos dos lados ( se repararem, o triângulo é isósceles e aplicando o célebre teorema de Pitágoras obtemos a medida dos lados iguais; a base é 12 como é fácil de verificar - na fórmula vamos representá-los por a, b e c).

 

A fórmula que tem o nome de um matemático grego, que viveu no séc. I é conhecida como Fórmula de Heron:

 

 

                                            

 

A utilização desta fórmula facilita-nos o cálculo da área de triângulos, pois não precisamos da altura, que, no caso das figuras do meu amigo, facilitou imenso os cálculos.

 

Vou agora apresentar dois pequenos desafios aos leitores.

 

Calcular a área dos triângulos que se seguem aplicando a fórmula de Heron (os valores indicados são as medidas dos comprimentos dos lados):

 

                                         

 

 

                                                   

Os cálculos a efectuar podem implicar a utilização de raizes quadradas não exactas. Existe neste blog um post que indica como calcular uma raiz não exacta. Bons cálculos.

 

Notas:

                                                                                                                                                                          - Heron de Alexandria, geómetra grego nasceu em Alexandria, no Egipto e viveu de10-70d.c. 

- Teorema de Heron: Dado um triângulo T de lados a, b e c, a área do triângulo é dada pela fórmula:

                                                              

em que:

s - semi-perímetro do triângulo

a,b,c - medidas dos comprimentos dos lados do triângulo

palavras-chave:
publicado por Frantuco às 23:03
link do artigo | comentar | favorito
Quarta-feira, 21 de Janeiro de 2009

Algoritmos - O teorema de Pick

As situações problemáticas que apresento têm quase sempre a ver com situações do quotidiano e procuram contar uma "história". A situação que vou apresentar, embora não tenha acontecido exactamente como vai ser contada, foi suscitada por um amigo que pediu a minha ajuda para calcular a área de algumas paredes de uma loja que pretendia cobrir de azulejos. No entanto, pretendia que as paredes apresentassem desenhos de diversas formas, o que dificultava a tarefa, pois tinha de calcular as diferentes áreas dos polígonos envolvidos, para saber quantos azulejos teria de comprar de cada espécie.

 

Se para os quadrados e os rectângulos tinha a tarefa facilitada, para os triângulos, pentágonos e hexógonos era bastante complicado, pois não eram polígonos regulares. A questão complicava-se porque a posição das figuras era diversificada e para os triângulos tornava-se difícil determinar a altura, necessária para calcular a área. Para os pentágonos e hexágonos o problema também não era fácil, pois como eram polígonos irregulares, para calcular a sua área tornava-se necessário recorrer à decomposição em triângulos ou quadrados ou rectângulos. Talvez uma figura torne mais clara a minha explicação.

 

Tirámos as medidas das paredes e das figuras e fizemos um desenho à escala, dividindo os espaços em quadrículas. Cada uma destas quadrículas representava um azulejo.

 

Havia triângulos e para calcular a área de um triângulo utiliza-se um algoritmo:

 

                    A = b x h / 2, em que:

b - base

h - altura

 

Contudo, neste caso, não era possível obter a altura. Vamos introduzir uma figura.

 

Em  relação ao triângulo A é possível aplicar a fórmula anterior. E em relação ao triângulo C? Qual é a altura? Qual é a base? Não sabemos.

No entanto existe um algoritmo, a Fórmula de Pick, que permite calcular a área sem serem necessárias as medidas da altura e da base.

 

Fórmula de Pick:                         

 

                                   A = F/2 + I - 1, onde

 

 

F - representa os pontos do ponteado por onde passa a fronteira do polígono

I  - representa os pontos do ponteado que estão no interior do polígono

 

Aplicando a primeira fórmula ao triângulo A e tomando como unidade de comprimento a distância entre dois pontos (•     •), vem:

 

            At = 7 x 6/2 ⇒ A = 42/ 2 ⇒ A = 21

 

Se aplicarmos a fórmula de  Pick, vem:

                                                

           At= 12/2 + 16 - 1 ⇒ A = 6 + 16 - 1 ⇒ A = 21

 

Está confirmado. Através da fórmula de Pick obtemos o mesmo resultado, que é 21.

 

 

E como  resolvemos o problema com o triângulo C? 

 

Este é um pequeno desafio para os leitores.

 

A resolução do problema do meu amigo não acabou aqui. Havia outras figuras e era preciso encontrar a sua área, para saber quantos azulejos eram precisos.

O pentágono em branco era das figuras que fazia parte do conjunto.

A área pode ser encontrada utilizando a figura colorida. O pentágono foi decomposto em 5 triângulos e um quadrado, que devidamente enquadrados nos permite calcular a área do pentágono, tendo como unidade a área da quadrícula, que representa um azulejo. Assim a área do pentágono é:

 

       Ap= 3 + 4,5 + 6 + 4 + 1,5 + 9

       Ap= 28

 

3 → área do triângulo vermelho

4,5 → área do triângulo laranja

6 → área do triângulo lilás

4 → área do triângulo azul

1,5 → área do triângulo verde

9 → área do quadrado branco

 

Este processo é muito moroso e trabalhoso.

Talvez a fórmula de Pick seja mais prática. Vamos verificar se se pode aplicar ao pentágono e outros polígonos:

 

 

Ap = F/2 + I - 1

 

Ap = 8/2 + 25 - 1

Ap = 28

 

Também, neste caso, a fórmula de Pick nos dá o resultado de uma forma mais rápida e eficaz. É um algoritmo que se pode aplicar a qualquer polígono simples.

 

Vamos deixar para os leitores um desafio:

 

Utilizando a fórmula de Pick, calcular a área dos seguintes polígonos, que são cópias de algumas das figuras que o meu amigo cobriu com azulejos nas paredes da sua loja.

 

                                                                                            

 

Notas:

1 - Georg Pick foi um matemático austríaco que nasceu em Viena em 1859 e morreu em 1942.

 

2 -Teorema de Pick
Dado um polígono simples P, sejam F o número de pontos de fronteira,  I o número de pontos interiores.   

Então a área Ap desse polígono é dada pela expressão seguinte  

 

Ap = F/2 + I - 1
publicado por Frantuco às 23:25
link do artigo | comentar | favorito
Sexta-feira, 16 de Janeiro de 2009

Um problema de idades

O problema que vou apresentar é a adaptação de um encontrado num livro de um escritor famoso que era também professor de Matemática numa universidade inglesa. O escritor é Lewis Carroll, que como todos sabem é o autor celebrado de Alice no País das Maravilhas. É pouco vulgar que a literatura ande ligada à matemática. Mas não é caso único.

 

Por exemplo, o famoso Jorge Luis Borges, escritor argentino do século XX, escolheu um livro de matemática como uma das cem obras de leitura imprescindível e para o qual escreveu um prólogo onde afirma o seguinte: 

 

"As matemáticas não são uma ciência empírica. Intuitivamente sabemos que três e quatro são sete, e não precisamos fazer a prova com martelos, com peças de xadrez ou com baralhos de cartas(...) Russell escreve que as vastas matemáticas são uma vasta tautologia e que dizer três e quatro não é mais que uma maneira de dizer sete. Seja o que for, a imaginação e as matemáticas não se contrapõem; complementam-se como a fechadura e a chave(...)

A linha, por mais breve que seja, consta de um número infinito de pontos; o plano, por mais breve que seja, de um número infinito de linhas; o volume, de um número infinito de planos. A geometria tetradimensional estudou a condição dos hipervolumes. A hiper-esfera consta de um número infinito de esferas; o hipercubo, de um número infinito de cubos. Não se sabe se existem, mas conhecem-se as suas leis.  

Bastante mais deleitável que este prólogo são as páginas deste livro."


E o livro é Matemáticas e Imaginação cujos autores são Edward Kasner & James Newman. Não sei se existe alguma tradução em português.


Mas não quero afastar-me do assunto principal que tem a ver com Lewis Carroll que é pseudónimo de Charles Lutwidge Dodgson, viveu no século XIX e foi matemático, lógico, fotógrafo e romancista. Embora tenha ficado famoso como romancista, como já foi dito, aqui interessam-nos as suas facetas como matemático e lógico, tendo publicado vários livros de lógica(foi um dos famosos professores de Lógica da universidade de Oxford), de problemas matemáticos e outros.

                                         (retirado de www.lancs.ac.uk)

O problema que vamos apresentar foi adaptado de um dos seus livros e introduzindo o sr. Torneiro, o moleiro da fábrica da farinha, diz o seguinte acerca das idades das suas três filhas:

 

"Neste momento a soma de duas das idades das minhas filhas é igual à terceira. Dentro de alguns anos, a soma de duas das idades será igual ao dobro da terceira. Quando o número de anos passados desde o momento anterior for 2/3 da soma de todas as  idades de então, uma das minhas filhas terá  21 anos. Quais serão as idades das minhas outras duas filhas?"- pergunta o sr. Torneiro.

 

Curiosamente  ou não, o sr Lewis Carroll também teve três filhas.

 

O desafio que propomos ao leitor é tentar descobrir quais serão as idades das filhas do sr. Torneiro. Não se esqueçam que é tudo uma questão de lógica.

 

publicado por Frantuco às 18:33
link do artigo | comentar | favorito
Segunda-feira, 5 de Janeiro de 2009

INVERSÕES

O texto que apresento a seguir confirma a importância da Matemática e a sua utilização em quase todas as áreas da vida.

 É, de certo modo, uma "história". Passou-se em 1973. Tinha regressado da guerra colonial, havia alguns meses. Decidi arranjar trabalho, o que consegui numa instituição bancária, que hoje já não existe, tendo sido integrada há mais de vinte anos noutra instituição do mesmo tipo.

Não sei se os bancos se organizam hoje da mesma forma e se as secções continuam a ter os mesmos nomes. Penso que, pelo menos, ainda devem existir as secções de "Depósitos" e a "Contabilidade".

Fui trabalhar para os "Depósitos", que, como o nome indica tinha a ver com tudo o que era depósito e levantamento de valores, em dinheiro, cheques e outros.

No final do dia era necessário proceder ao acerto dos valores movimentados nas diversas secções, nomeadamente Depósitos e Contabilidade. Por vezes os valores não coincidiam. As contas diárias não podiam (e penso que hoje também assim acontece) ser encerradas sem que todos os valores até ao último centavo batessem certos. Era necessário, por vezes, ficar depois do fecho para descobrir as diferenças. Tínhamos algumas técnicas que envolviam conhecimentos matemáticos.

Há 35 anos, os computadores não tinham a capacidade e velocidade dos actuais e muito menos o tamanho: eram enormes, ocupavam um salão com algumas dezenas de metros quadrados e funcionavam fazendo a leitura de fitas perfuradas, onde estavam registados os montantes e outros aspectos dos cheques que entravam nas secções referidas.

Eram as máquinas certificadoras que existiam nestas secções que perfuravam as fitas que os computadores liam e que no final do dia davam os montantes a ser conferidos e que às vezes não batiam certo.

Era aqui que a Matemática entrava em acção.

Cabia aos "certificadores" encontrar o documento ou documentos onde se encontravam os erros. A resposta, muitas vezes, estava na própria diferença:

  • Se a diferença fosse um valor menor que 100 escudos (foi em 1973) e múltiplo de 9 era, com elevada probabilidade de certeza, uma inversão (troca) entre os algarismos das dezenas e unidades. Imaginemos um cheque de 53927 escudos que foi "certificado" como 53972 escudos. Há aqui uma inversão, para mais, de 45 escudos. Mas não se sabia onde estava. Como descobrir o documento? Fácil. Encontrar todos os cheques cuja diferença entre os algarismos das dezenas e unidades é 5. Isto é: 7 - 2 ou 6 - 1 ou 8 - 3 ou 9 - 4 e 5 x 9 = 45. Também sabíamos se o algarismo das unidades era maior ou menor que o das dezenas. Bastava que a diferença dos valores fosse para mais ou para menos. Normalmente ao fim de meia dúzia de minutos tínhamos encontrado o documento errado. O processo é bastante fácil. Vejamos outro caso.
  • Imaginemos que a diferença era de 72 escudos, para menos. Qual o raciocínio a fazer? A diferença entre os algarismos das dezenas e das unidades é 8, porque 8 x 9 = 72, múltiplo de 9 e o algarismo das dezenas é maior queo das unidades. Terão de ser 9 - 1 = 8 ou 8 - 0 = 8. O valor correcto do cheque poderia ser, por exemplo, 5491 escudos certificado como 5419, que como se vê a diferença é 5491 - 5419 = 72. Também poderia ser um cheque de 32 180 escudos certificado como um cheque de 32 108 escudos.
  • E, se a diferença fosse, por exemplo, para mais, de 2700 escudos, que como se vê é múltiplo de 9? Onde devíamos procurar a diferença? Se reflectirmos um pouco, concluiremos facilmente que a inversão se deu entre os algarismos dos milhares e das centenas (o algarismo das centenas é maior). Vejamos um exemplo que ilustra a situação:

              - cheque de 45 856 escudos certificado como 48 556;

              - a diferença 8 - 5 = 3 e 3 x 9 = 27;

              - 48 556 - 45 856 = 2 700.

 

UM PEQUENO DESAFIO: Se um cheque de 7 931 escudos fosse certificado como 7 391 escudos, qual a diferença e porquê?

  • Parece ser fácil descobrir a diferença entre dois números quando há inversões:

             - múltiplos de 9 menores que 100 quando se trocam os algarismos das dezenas e das unidades;

             - múltiplos de 9 maiores que 100 e menores que 1000 quando a inversão é entre os algarismos das centenas e das dezenas;

             - múltiplos de 9 maiores que 1000 e menores que 10 000 quando a inversão se dá entre as centenas e as unidades de milhar, e assim sucessivamente.

 

Não me lembro se alguma vez ocorreu um caso de duas inversões simultâneas, entre dezenas e unidades e também entre unidades de milhar e centenas, por exemplo. Qual a diferença? Como descobri-la?

Para encontrar a resposta, nada melhor do que um exemplo:

            - cheque de 18 342 escudos certificado como 13 824. Dupla inversão.

            - a diferença é 18 342 - 13 824 = 4518. Como explicá-la?

 

Talvez os leitores possam dar-nos uma ajuda. Não se esqueçam que são duas inversões e se consiga explicar se se fizer a análise em separado e depois juntar os resultados.  

 

  

Neste momento impõe-se uma nova interrogação - Que diferença se encontra, quando se dá uma inversão entre duas ordens não consecutivas? Pedimos aos leitores a colaboração dando como sugestão a certificação de um cheque de 73 520 escudos por um cheque de 23 570. Como se verifica, existe troca entre os algarismos das dezenas de milhar e das dezenas. Que explicação encontra o leitor?

 

Parece que hoje em dia já não é preciso andar à procura das inversões, mas a Matemática continua a ser fundamental, até para fazer as compras do dia a dia.

publicado por Frantuco às 23:28
link do artigo | comentar | favorito

.mais sobre mim

.pesquisar

 

.Abril 2011

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

.artigos recentes

. A pérola falsa

. Fazendo humor com a Matem...

. O Problema de Monty Hall

. CABECINHAS PENSADORAS…. f...

. Regressamos sempre às raí...

. Os bilhetes de metro

. Sempre os problemas

. O regresso à memória nova...

. Grandes Matemáticos - Tha...

. O Ano 2010 e as potências...

. O Ano de 2010 e as potênc...

. O Ano de 2010 e as potênc...

. As cidades, as vilas, as ...

. O caderno de exercícios "...

. Os contos das noites de i...

. Mais uma vez o regresso à...

. Grandes Matemáticos - Pit...

. Cereais, legumes, medidas...

. Memórias I

. O Labirinto

. Rãs e Sapos ou Ovelhas e ...

. Rãs e Sapos ou Ovelhas e ...

. HIPÁTIA DE ALEXANDRIA

. A decomposição de números...

. Grandes Matemáticos - Leo...

. Os algoritmos - o número ...

. Os algoritmos - o código ...

. Os caminhos do João

. As probabilidades no dia ...

. As probabilidades no dia ...

. O tempo, os relógios e as...

. As probabilidades e os an...

. Vamos aos gambuzinos

. O jardim de pedra

. De novo as eleições - as ...

. Os frutos secos do Natal

. As caminhadas, as pesagen...

. O Método de Hondt

. O jogo do NIM - segunda v...

. O jogo do NIM - primeira ...

. A travessia da ponte - no...

. Algoritmos - A fórmula de...

. Algoritmos - O teorema de...

. Um problema de idades

. INVERSÕES

. A travessia da ponte

. O carteiro, as idades e o...

. A herança do lavrador

. O relógio, as horas e os ...

. A decomposição de números...

.arquivos

. Abril 2011

. Fevereiro 2011

. Janeiro 2011

. Novembro 2010

. Junho 2010

. Março 2010

. Fevereiro 2010

. Janeiro 2010

. Dezembro 2009

. Novembro 2009

. Outubro 2009

. Agosto 2009

. Julho 2009

. Junho 2009

. Maio 2009

. Abril 2009

. Março 2009

. Fevereiro 2009

. Janeiro 2009

. Dezembro 2008

. Novembro 2008

. Outubro 2008

. Setembro 2008

.palavras-chave

. todas as tags

.links

.Contador

Expedia
Expedia Discount Travel