Quarta-feira, 25 de Março de 2009

O jardim de pedra

Era uma vez, na minha terra, um edil que gostava muito de pedras e pouco de árvores, de flores, de relva,... Não sei se já alguma vez reflectiram sobre isto, mas esta espécie de seres tem invadido as câmaras e as juntas de freguesia deste reino. Têm produzido uma série de obras tão "modernas", tão "modernas" que conseguiram quase fazer desaparecer o verde dos jardins dos burgos.

Há algum tempo fui dar um passeio com a minha filha Ana Rita. Durante o passeio, seguindo as informações de algumas placas, tentámos encontrar  o que pensávamos ser um parque ou um jardim para fruição dos munícipes, com árvores e relva, muitos canteiros com flores, bancos para nos sentarmos,... 

Para surpresa nossa, árvores poucas havia (e as que existiam eram tão pequenas que nem sombra faziam); os bancos eram de granito, sem "costas", frios, desagradáveis,...; a maior parte dos espaços estavam cobertos de paralelepípedos de granito; e, no meio deste  "deserto" encontrámos um espaço com a forma da imagem que se segue: um canteiro quadrado com um grande lago circular e à volta quatro lagos pequenos e iguais e o resto coberto de relva, que para nós representou uma espécie de oásis:

 

Tanto a minha filha como eu tivemos o mesmo pensamento: "brincar" um pouco com a situação. A minha filha comentou então o assunto desta maneira:

- Já viste, pai, que o verde praticamente não se vê. Olha para este "quadrado": podias arranjar um problema para ele.

- Tens razão. Mas não temos medidas nehumas, nem instrumentos de medição. Vamos observá-lo bem. Como os canteiros se tocam uns nos outros e nos lados do quadrado, talvez seja possível utilizar o lado do quadrado (L) como unidade de medida e os raios dos círculos - lagos - podemos representá-los por r(lago grande) e r2 (lagos pequenos).

Sendo assim, talvez encontremos um problema para resolvermos.

Neste momento, a minha filha apresentou a seguinte sugestão:

- E se calculássemos a área da relva em função do lado quadrado, uma vez que não temos as medidas.

- Tens toda a razão, é isso mesmo. E depois podemos estimar o comprimento e calcular uma área aproximada.

Analisando bem a figura e depois de alguns cálculos conseguimos encontrar a área da relva.

 

É esse o desafio que proponho aos leitores: calcular a área da relva do "jardim de pedra" em função do lado do quadrado.

 

Fico à espera das vossas respostas.

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publicado por Frantuco às 12:44
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Quinta-feira, 19 de Março de 2009

De novo as eleições - as votações

Um amigo meu, que tem acompanhado as propostas que temos publicado neste blogue, achou interessante a explicação feita sobre o método de Hondt e enviou-me uma situação que, em termos genéricos, consiste no seguinte:

- No concelho em que vive, na zona centro de Portugal, nas últimas eleições autárquicas, realizadas em 2005, concorreram cinco listas.

- Como é habitual uma das listas ganhou com um número de votos significativo. O concelho tem um número de eleitores que é cerca de metade dos de Castelo Branco.

- Costuma reunir-se, num café da vila, com alguns amigos, entre os quais um apreciador de problemas e charadas, das quais já me tem enviado algumas.

- Desta vez construiu uma situação interessante. Para a resolver tive de ter  alguma atenção e um bom raciocínio. Mas já chega de introdução e vamos ao problema.

 

- Como já dissemos, concorreram cinco (5) listas, que vamos designar pelas letras A, B, C, D e E. Não me foi dito qual a lista que ganhou.

- O total de votos obtidos pelas listas foi 26 773.

- A lista C obteve mais 2 561 que a lista D e 4 072 que a lista E; obteve menos 5 104   que a lista B e 1 722 que a lista A.

 

A pergunta é:

Quem ganhou as eleições? Qual foi a votação de cada uma das listas?

 

Deixo aos leitores o desafio. Não exige grandes conhecimentos matemáticos. Apenas algum raciocínio e alguns cálculos. Fico à espera das vossas respostas.

publicado por Frantuco às 23:36
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Terça-feira, 10 de Março de 2009

Os frutos secos do Natal

No Natal, nas nossas aldeias é tradição fazerem-se e comerem-se todo o tipo de bolos: bolo-rei, filhós, rabanadas, coscorões,... Mas, também se põem na mesa todo o tipo de frutos, especialmente frutos secos: amêndoas, nozes, pinhões, figos,...

No Natal passado, na casa de uma das minhas irmãs estavam na mesa cinco pratos com diferentes tipos de frutos secos: amendoas, avelãs, castanhas, figos e nozes.

 

 

Como é hábito na família, a mesa está sempre posta e quem entra pode chegar-se à mesa e meter qualquer coisa na boca.

Desde os tempos da minha infância ouvi contar histórias à lareira, algumas delas bem interessantes e que se perderam temporariamente e que têm vindo a ser recuperadas pelos contadores de histórias: O Touro Azul, As Botas das Sete Léguas,...

É claro que o problema que eu vou colocar aos leitores não tem a ver directamente com as histórias de outros tempos, mas também pode servir de substituto à televisão ou ao computador.

Já devem estar a pensar: tanta conversa para quê?

Ora bem aí vai o que aconteceu então no último Natal na casa da minha irmã Luisa.

O meu sobrinho que sabe o gosto que eu tenho por problemas e desafios matemáticos tentou arranjar-me um problema, exactamente com os frutos secos. Tenho de reconhecer que ele conseguiu construir uma situação que envolve uma boa dose de raciocínio para ser resolvida.

Na véspera de Natal, estava eu a tomar o pequeno almoço, chega-se o meu sobrinho ao pé de mim e diz-me o seguinte:

- Tio, nestes cinco pratos estão 150 frutos no total. Acabei de contá-los - diz-me ele. Mas se somarmos as amêndoas com as avelãs obtemos um total de 78; se somarmos as avelãs com as castanhas obtemos o total de 65; se somarmos as castanhas com os figos obtemos o total de 51 e se somarmos os figos com as nozes obtemos 45 frutos.

Agora, sem os contar, veja se consegue calcular quantos frutos de cada espécie há em cada prato?

Não sabia o que havia de responder, mas acabei por aceitar o desafio que me levou algum tempo a resolver.

 

O meu desafio aos leitores já sabem qual é:

 

- Procurem descobrir como eu fiz, quantos frutos de cada espécie havia em cada prato da mesa de Natal.

 

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publicado por Frantuco às 20:17
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Quarta-feira, 4 de Março de 2009

As caminhadas, as pesagens e os maridos

Tenho um grupo de amigos, homens e mulheres, que têm algumas preocupações quanto à alimentação que fazem, quanto à imagem, quanto à sua saúde, em geral. Desse grupo fazem parte cinco mulheres, cujos nomes curiosamente seguem o alfabeto: Aida, Benilde, Carlota, Dilar e Ester. A Aida é uma mulher activa, dinâmica e que gosta de praticar actividade física. Também começou a aperceber-se que as suas amigas estavam a ficar muito paradas e até a engordar. Decidiu organizar um grupo que, periodicamente, realizasse actividade física. Começaram por fazer duas caminhadas, por semana , em volta da cidade.



O marido da Carlota, quando a mulher lhe disse que tinha um grupo para fazer caminhadas, ficou descrente de que o grupo conseguisse manter o ritmo.

A Carlota contou às amigas e numa decisão que revelou  determinação decidiram organizar um calendário e as acividades caseiras, de modo a poderem fazer actividade física, dia sim dia não. Para isso, contaram com a colaboração dos respectivos maridos, que influenciados pelo marido da Carlota, sempre iam insinuando que elas iam desistir passado pouco tempo.

A Aida não se deixou intimidar e conseguiu motivar as amigas que rapidamente começaram a pôr em prática o seu plano.

Como um dos objectivos era perder algum peso que já tinham a mais, fizeram pesagens e verificaram que tinham, realmente, excesso de peso.

Mantendo um ritmo constante nas caminhadas, regularmente foram melhorando a sua forma física e ficando com um aspecto mais elegante.

E o marido da Carlota comentava para os outros que faziam coro:

- São só mais alguns dias. Quando começar a aquecer desistem.

Enganaram-se.

No início do período das férias do Verão, decidiram pregar uma partida aos seus companheiros que tão descrentes se tinham mostrado.

A Carlota propôs às companheiras que fizessem pesagens duas a duas, de modo a formar todos os pares possíveis, tendo obtido os seguintes valores: 110 kg, 112 kg, 113 kg, 114 kg, 115 kg, 116 kg, 117 kg, 118 kg, 120 kg, 121 kg.

Tomou nota dos valores obtidos e quando chegou a casa dirigiu-se ao marido dizendo-lhe:

- Não acreditastes que nós éramos capazes de manter o nosso grupo de caminhadas e muito  menos que nós iríamos perder peso. Tens aqui os nossos pesos duas a duas. O nosso desafio é que tu e os teus amigos descubram o peso de cada uma de nós.

O marido da Carlota ficou sem fala. Mas aceitou o desafio.

 

Agora aqui vai o nosso:

Talvez os nossos leitores queiram dar uma ajuda aos maridos das nossas amigas e descubram quanto pesa actualmente cada uma das nossas caminheiras.

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publicado por Frantuco às 22:58
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