Sexta-feira, 29 de Maio de 2009

Grandes Matemáticos - Leonard Euler

Desde muito cedo  (penso que logo que aprendi a ler) gostei de ler biografias. Não é preciso dizer que nos contam, por vezes, aspectos interessantes da vida das pessoas. Dão-nos, seguramente, uma imagem mais humanizada dos biografados, nomeadamente dos cientistas, à volta dos quais se criam mitos, lendas, que não correspondem à verdade. A biografia de qualquer pessoa que ficou na história pelas mais variadas razões mostra sempre que as ideias feitas nunca correspondem à verdade.

Como já disse gosto muito de biografias e especialmente das de cientistas. Vou tentar periodicamente apresentar, não uma biografia, mas alguns aspectos, que considero importantes do ponto de vista científico, da vida de alguns matemáticos, uns mais, outros menos conhecidos. Vou começar pelo senhor Leonhard Euler.   

                                             

  

Leonhard Euler foi um matemático suiço do século XVIII (1707-1783).

Todos os alunos que fizeram o 2º ciclo ouviram falar deste matemático.

Todos conhecem a Igualdade de Euler, que é apresentada aos alunos do seguinte modo:

  

                 F + V = A + 2, em que as letras significam

 

F - Faces; V - Vértices; A - Arestas

Esta igualdade tem a ver com os sólidos poliedros, que como é sabido são sólidos geométricos limitados apenas por superfícies planas.

Quer então dizer que, em qualquer poliedro, o número de Faces mais o número de Vértices é igual ao número de Arestas mais 2.

Não vamos apresentar nenhum exemplo. Basta pensar, por exemplo, num prisma hexagonal e verificaremos a igualdade.

Mas Euler não ficou famoso apenas por esta igualdade. É apontado como autor de cerca de 800 trabalhos.

A Teoria dos Grafos, que teve um desenvolvimento fundamental no século XX , teve a sua contribuição quando resolveu o célebre problema "As Pontes de Konigsberg", actual Kalalinegrado. Esta cidade da antiga Prússia Oriental é atravessada  pelo rio Pregel que se ramifica formando uma ilha (Kneiphof) que estava ligada à restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efectuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não existia tal percurso.

 

Leonhard Euler, a pedido do presidente da Câmara da cidade provou que era impossível fazer o passeio passando apenas uma vez por cada uma das pontes. Utilizou para isso um esquema bem simples que hoje tem o nome de grafo. Nascia assim a Teoria dos Grafos.O meu colega e amigo José Filipe  já tratou este assunto num artigo publicado há algum tempo que pode ser lido aqui.

De acordo com as fontes que consultámos, Euler tinha a versatilidade de um génio, uma vez que os seus interesses científicos foram muitos e variados:  professor de Fisiologia  na faculdade de Medicina de São Petersburgo, dedicou-se à astronomia, criou a teoria dos grafos, trabalhou em Cartografia,...

De entre os números reais mais conhecidos, temos de destacar dois que estão associados ao nome de Euler:

 

- O número de Euler (e) tem um valor aproximado de 2,71828. É a base dos logaritmos neperianos e define-se como o limite de (1+1/n)quando n tende para infinito. Onde aparece a ligação de Euler a este número? Segundo a história a existência do número é anterior, sendo também conhecido como constante de Neper, mas foi o matemático suiço o primeiro a utilizar a letra e para identificá-lo e também tem o seu nome como homenagem.

O Número de Euler é um número irracional e também transcendente e apresentamo-lo a seguir com as primeiras 200 casas decimais:

e=2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240

76630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572

90033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901.

 

- A constante de Euler-Mascheroni (y) tem o valor aproximado 0,57721 e define-se como sendo limite quando n tende para infinito de (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n). Esta constante foi definida pela primeira vez em 1735 por Euler e tem múltiplas aplicações em Teoria dos Números.

 

Poderíamos continuar a falar das realizações do célebre matemático, mas aí vai o nosso desafio que também tem o seu nome:

 

Construir a recta de Euler que se obtem do seguinte modo:

- Construir um triângulo qualquer

- Traçar as suas alturas que vão cruzar-se num ponto que toma o nome de ortocentro. Assinalar esse ponto

- Traçar as suas medianas que vão cruzar-se num ponto que toma o nome de baricentro. Assinalar esse ponto

- Traçar as  mediatrizes dos seus lados que se encontram no ponto que se chama circuncentro. Assinalá-lo.

Verificar que os três pontos estão alinhados, traçando a recta que os contem.

 

Fico à espera dos vossos comentários e sugestões.

 

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publicado por Frantuco às 21:03
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Domingo, 24 de Maio de 2009

Os algoritmos - o número do bilhete de identidade

A primeira vez que tirei o bilhete de identidade tinha 11 anos. Tinha de fazer exame de admissão ao liceu e à escola industrial e comercial e era obrigatório levar BI como documento de identificação. Foi necessário um dia inteirinho para tirar o valioso documento. Só na sede do concelho era possível fazê-lo, tal como hoje. Era lá que estava o Registo Civil onde se podia fazer. Saímos de manhã cedo na camioneta da carreira. Quando chegámos à vila foi preciso esperar pelo menos uma hora bem medida para tirar as fotografias. O fotógrafo já estava preparado. Naquela época era o único que fazia o serviço e a sua "casa" era mesmo junto do Registo Civil.

Foi preciso esperar pela tarde que as fotografias estivessem prontas. O fotógrafo não tinha mãos a medir. Cada encomenda obrigava a seis fotografias pequenas e uma grande. Deve ter sido nessa altura que esse número passou a ser norma. Enquanto esperávamos pelos preciosos retratos, a minha mãe aproveitou para fazer pequenas compras, poucas, que os salários eram pequenos e o dinheiro não abundava.

Com os retratos na mão lá nos dirigimos ao edifício da câmara, que era lá que estavam os serviços todos. Esperámos a nossa vez.

Os empregados das repartições públicas criam rituais que cumprem ao milímetro, mas que os que estão do outro lado do balcão ou da mesa não entendem. Assim, tivemos de preencher uma série de papéis que não entendíamos. No entanto, lá conseguimos. Depois foi preciso passar para um gabinete com uma mesa, onde tive de colocar os dedos numa  espécie de esponja preta para que as impressões digitais de todos os dedos ficassem registadas. Tiraram-me a altura. Só não me tiraram o peso. Assinei alguns papéis e entregaram-me um recibo para levantar o BI "daqui a um mês", mais ou menos. Em suma, foi uma aventura.

 

Naquela altura o BI tinha apenas os dígitos que normalmente usamos. Hoje, a seguir ao número, do lado direito, aparece destacado, dentro de um pequeno quadrado, um dígito que parece que ninguém utiliza. Pelo menos eu nunca o digo. Será que ninguém o refere quando lhe pedem o número do BI? Não fará parte do número?  

 

Quando surgiu no BI de qualquer cidadão que não sabia o seu significado apareceram os mitos:

A - O dígito isolado é o número de pessoas registadas nos serviços centrais de identificação que têm o mesmo nome, o que quer dizer que com o nome igual ao meu há em todo o país 8 pessoas. Este número tem-se mantido constante desde há bastantes anos, nem morre ninguém, nem se acrescenta ninguém. É claro que nada disto tem a ver com o seu significado.

B - Também há quem afirme que é o número de vezes que o BI foi tirado ou renovado. Esta cai imediatamente pela base, porque o número não se altera desde que foi acrescentado.

O algarismo acrescentado é ou devia ser o dígito de controlo, que servirá para detectar possíveis erros na escrita do número do BI. Em caso de engano, um computador detecta imediatamente o erro porque o dígito de controlo escrito não corresponde ao número indicado.

 

Vamos ver como se calcula.

Consideremos o seguinte número 1569448 de BI, sem o dígito de controlo, que vamos calcular:

- Multipliquemos sucessivamente a partir das unidades cada um dos algarismos do número por 2, por 3, por 4,.... e adicionemos os produtos obtidos:

 

2 x 8 + 3 x 4 + 4 x 4 + 5 x 9 + 6 x 6 + 7 x 5 + 8 x 1 =

= 16 + 12 + 16 + 45 + 36 + 35 + 8 =

= 168

- Em seguida dividimos a soma obtida por 11:

 

                               168      I_11__

                                 58         15

                                   3

 

Como,  se somarmos ao número 168 o dígito de controlo, a soma fica divisível por 11, então o algarismo de controlo obtem-se fazendo a diferença entre 11 e o resto obtido, que neste caso é 3.              

                              11 - 3 = 8 (dígito de controlo)

 

Há outra maneira de obtê-lo:

- Multiplicam-se os algarismos do BI da direita para a esquerda, por 2, por 3 , por 4,... e em seguida somam-se os produtos obtidos, tal como fizemos anteriormente. A soma obtida foi 168.

- Em seguida divide-se por 11

 

168 : 11 = 15, 2727272727... Este resultado arredondamos por excesso e multiplicamos por 11, ou seja 16 x 11 = 176.

Agora fazemos a diferença entre este valor (que é divisível por 11) e 168 e temos o dígito de controlo:

 

                                    176 - 168 = 8

 

Mas parece que no caso português o sistema de detecção de erros que o dígito de controlo devia activar não funciona. Porquê?

Como  é sabido, na divisão de um número por 11 podem obter-se onze restos, sendo o maior deles 10.

No caso de o resto ser 1, o número de controlo seria 10, que não seria possível uma vez que tem dois dígitos.  Nesta situação, o número 10  seria substituído por uma letra, um X. No entanto, não foi essa a solução. Os responsáveis da introdução do número de controlo decidiram que, neste caso, seria 0. Conclusão: em Portugal, há, pelo menos, 9% de portugueses, cujo número de controlo do BI não corresponde ao verdadeiro. Se o seu BI tiver como número de controlo 0, tente verificar se é de facto o que lhe corresponde. Basta fazer os cálculos indicados anteriormente.

 

Agora aqui vai o nosso desafio. Tente descobrir o número de controlo do BI que se segue:

 

 

Há muitos outros aspectos que poderíamos esclarecer e que oferecem muitas dúvidas. Ficamos à espera dos vossos comentários.

 

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publicado por Frantuco às 19:15
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Sexta-feira, 15 de Maio de 2009

Os algoritmos - o código de barras

Hoje em dia todos nós que temos bilhete de identidade (BI) sabemos que há um dígito que aparece à direita do número, isolado e que num próximo artigo veremos para que serve e como se calcula.

Os livros que aparecem nas bibliotecas, pelo menos os mais recentes, estão identificados através de um número que tem o nome de ISBN (International Standard Book Number), constituído por treze dígitos, que acompanham um código de barras. Também, neste caso, o 13º dígito tem uma função e uma forma de cálculo.

Por outro lado, quando compramos um produto qualquer, num hipermercado ou mesmo numa pequena mercearia de bairro, é utilizada uma máqquina que regista todas as compras que fizemos, com os nomes dos produtos, os preços e imprime um talão onde vêm um conjunto de informações.

Onde estão registadas estas informações que a máquina lê quando se passa o produto em frente de uma luz vermelha intermitente, que não é mais do que um scanner?

Todas estas informações estão no código de barras que é conhecido na Europa, onde existe desde 1977, por EAN-13 (European Article Numbering).

Todos nós verificamos que o código de barras (daí o nome) é constituído por barras pretas e brancas, que é lido pelo scanner e transformado na informação que depois é impressa no talão que nos entregam.

 

Para que serve este conjunto de barras e dígitos?

 

- De uma forma rápida são registados todos os preços dos produtos que comprámos e dado o total;

- Ao registar um produto na caixa é imediatamente abatido na estante da loja e também no stock do armazém; isto é, em qualquer momento se pode saber se o produto que um cliente procura existe ou não em armazém e pode ser encomendado;

- Se houver um registo das saídas diárias é possível ter uma ideia bastante segura dos gostos dos clientes e quais os produtos que mais se vendem. Ainda recentemente procurei um produto de que precisava e que já tinha comprado num estabelecimento há algum tempo. Fui informado por um empregado que o produto em causa já não existia à venda, porque tinham decidido deixar de vendê- lo porque era pouco procurado.

Todas estas informações se podem obter através daquele conjunto de barras e dígitos que aparecem nos produtos.

 

A qualquer um de nós já aconteceu que a máquina da caixa se "recusou" a ler o código de barras. O que faz o empregado(a)? Regista os dígitos um a um e lá aparece no visor o preço, o nome, o IVA e todo um conunto de informações que vêm no talão.

E não há enganos? Será que em vez de ser registada uma caixa de cereais não foi foi registado um colchão e o respectivo preço? Estes enganos são raríssimos. No conjunto de dígitos existe um (o 13º - o último da direita) que é chamado o número de controlo (check digit) e permite evitar essas situações. Vejamos o seguinte código de barras:

 

Este código foi retirado de uma lata de calda de pêssego e tem 13 dígitos como se vê. Vamos tentar dar uma pequena explicação sobre os dígitos:

- os três primeiros indicam o país: 560 - Portugal;

- o conjunto de dígitos, que podem ir de quatro a sete  referem-se a uma marca de um país. Neste caso seria a marca de pêssego em calda;

- os três seguintes - 225 - são escolhidos pelo fabricante para identificar os seus produtos;

- resta o último da direita - 1 - número de controlo.

É este último que impede que nós paguemos uma lata de atum em vez de um televisor.

Como se calcula?

É um algoritmo bastante fácil.

- Seleccionamos os 12 primeiros dígitos que neste caso são 560100994225;

- Em primeiro lugar faz-se a adiçao dos dígitos que ocupam uma posição ímpar a partir da esquerda para a direita:

 

                        5 + 0 + 0 + 9 + 4 + 2 = 20

 

- A seguir faz-se a adição de todos os que ocupam um lugar par:

                        6 + 1 + 0 + 9 + 2 + 5 = 23 e a soma obtida multiplica-se por 3

 

                        23 x 3 = 69

 

- Em terceiro lugar somam-se os dois valores obtidos anteriormente

                        20 + 69 = 89

 

O dígito das unidades desta que é 9 subtrai-se ao número 10. O resultado obtido é o número de controlo do código em apreço. Neste caso é:

                       10  -  9 = 1

 

Há uma situação especial. Se o algarismo das unidades for zero, a diferença seria 10, o que é impossível. Neste caso, o algarismo de controlo seria 0.

 

Agora, aí vai o nosso desafio:

 

- Verificar se o número de controlo do código que segue está correcto e que não se refere a um produto português

 

publicado por Frantuco às 19:22
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Quinta-feira, 7 de Maio de 2009

Os caminhos do João

A maior parte, se não todas, das nossas aldeias, vilas e cidades têm as ruas organizadas de maneira bastante irregular, com avenidas e ruas às "curvas", os bairros com uma geometria pouco alinhada, em que as ruas se  cruzam formando ângulos de todo o tipo: agudos, rectos (que seria o ideal) e obtusos.

 

No entanto, o bairro de que fala o problema está organizado com ruas bastante direitas e paralelas e perpendiculares umas às outras, com cruzamentos formando ângulos rectos e bairros rectangulares que tornam os percursos mais fáceis de realizar.

 

A figura que se segue representa o Bairro de que estou a falar, em que as linhas representam as ruas e onde estão assinaladas três construções: a casa do João, a escola que frequenta e a gelataria que procura quando tem dinheiro "fresco", semanalmente:

 

 

 

O João é um rapaz que gosta de música, de ler, de filmes e de problemas de Matemática. Quando vai para a Escola, com os fones colocados para ouvir música, vai sempre a pensar nas coisas do dia a dia, onde a matemática está sempre presente.

 

Este ano lectivo, logo no início, começou a observar as ruas do seu Bairro e chegou às seguintes conclusões:

- A partir da rua da sua casa (inclusive) há cinco ruas (5) na horizontal e seis ruas (6) na vertical até chegar à sua Escola;

- Para percorrer as ruas todas e fazer todos os dias um percurso diferente de Casa para a Escola vai ter de fazer uma contabilidade bem organizada, porque os percursos possíveis são algumas dezenas ou até mesmo centenas;

- Se passar pela Gelataria, para comer um gelado, quando receber a semanada, seguindo igualmente um percurso diferente, vai ter de contar bem porque as possibilidades também são muitas;

- Decidiu fazer um desenho do Bairro desde a sua Casa até à Escola, assinalando a Gelataria para ir marcando os percursos sem se enganar;

- Fez mentalmente um cálculo aproximado do número de percursos diferentes que poderia fazer e decidiu começar no dia 1 de Janeiro de 2009 a fazer um percurso diferente todos os dias  e tentou descobrir a data em que iria cumprir a sua empreitada;

- Verificou, curiosamente, que a distância que tinha de percorrer em todos os percursos que iria utilizar para ir de casa para a escola, era sempre a mesma e portanto, era indiferente ir por um lado ou por outro.

 

O João já estava desconfiado que se tinha metido num belo problema. No entanto, não disse nada a ninguém, mas também não desistiu e começou a concretizar o seu propósito no dia 1 de Janeiro de 2009.

 

Os tempos foram passando e o Joâo demorou bastantes dias para chegar ao fim da sua empreitada: todos os dias descobria mais um caminho que ele ia registando.

 

Falta dizer que os caminhos do João não incluíam vir para trás ou para baixo. Ele só andava para cima que ele assinalava com a letra C e para a direita que assinalava com a letra D. Assim, por exemplo, o percurso a roxo pode ser descrito com as letras CCDCDDDCD. Nove espaços. Já o caminho assinalado a azul pode ser descrito do seguinte modo: DCDDDDCCC. Utilizando esta nomenclatura, todos os caminhos serão diferentes.

 

O nosso desafio é:

1 . Descobrir quantos caminhos diferentes tem o João de fazer para cumprir o seu propósito. Em que dia do ano de 2009 terminará ou terminou o João de fazer todos os caminhos possíveis, da sua Casa até à Escola?

2 . Quantos caminhos faz o João que passam pela Gelataria? Será que de acordo com as condições (passar uma vez por semana) ele esgota as passagens pela Gelataria no espaço de tempo que dura a experiência?

 

Façam favor de ajudar o João.

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publicado por Frantuco às 00:04
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