Sábado, 27 de Junho de 2009

Rãs e Sapos ou Ovelhas e Cabras - II

No artigo anterior, que não ficou completo, falei de alguns jogos da minha infância (voltarei a este assunto) e terminei o artigo com um desafio em que propunha a descoberta do caminho para trocar de posição 4 moedas de cada cor. Já tínhamos definida a fórmula de cálculo do número óptimo de movimentos a efectuar quando o número de rãs é igual ao número de sapos.

Mas, a situação pode ser diferente. Se o número de sapos for diferente do número de rãs? Parece claro que os movimentos a efectuar serão também diferentes do caso inicial. Vamos fazer uma experiência. Consideremos o caso em que temos do lado esquerdo 1 moeda branca e do lado direito 4 moedas pretas. Vejamos o que acontece:

 

 

Mudámos a posição das moedas ao fim de 9 movimentos. Se repararem, os movimentos efectuados apresentam uma certa regularidade, embora pudessem ser feitos de outra maneira.

Começámos por 1 moeda branca e 4 pretas, mas podíamos ter começado por 1 branca e 2 pretas e a seguir 1 branca e 3 pretas. Será que se verificaria alguma regularidade? Esta é uma investigação que o leitor pode fazer. Tente descobrir a lei de formação da regularidade se a encontrar.

 

Mas proponho ainda outro desafio:

 

Tente descobrir o caminho para trocar de posição 2 moedas brancas e 3 moedas pretas.

 

Ainda relacionado com sapos e rãs encontrei recentemente no livro espanhol "El País de las Mates" de Miguel Capó Dolz um problema que vou apresentar aos leitores com ligeiras adaptações:



Do lado esquerdo da figura encontram-se 3 sapos e do lado direito 3 rãs. Pretende-se que ensinem aos simpáticos animais a cadeia de movimentos a realizar de modo a trocarem as suas posições, mas de acordo com as seguintes regras:

1 - Cada sapo ou cada rã pode ir para qualquer casa desde que esteja vazia.

2 - Nem os sapos nem as rãs podem saltar por cima uns dos outros.


É este o desafio que tinha para vos propor. Fico à espera dos vossos comentários e respostas.


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publicado por Frantuco às 11:36
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Domingo, 21 de Junho de 2009

Rãs e Sapos ou Ovelhas e Cabras

Fizeram parte da minha infância muitos jogos a que hoje chamam de "tradicionais", mas que para nós eram puro divertimento e os nomes que lhes dávamos poucas pessoas conseguem hoje identificá-los.

Jogar à "CHIA" era hoje, se ainda se joga, jogar à "Macaca".

E o que era jogar à "Barra-bandeira"? Não sei se hoje terá algum correspondente.

E o que era jogar ao "Mocho"? Quem sabe? Já alguém ouviu falar?

Pois é. Naquela época não havia televisão, não havia computadores, nem consolas, nem vídeos,nem...

Mas havia a rua para jogar livremente e às vezes, na Primavera quando chovia e as valetas corriam, andávamos descalços na água  e na lama que se metia por entre os dedos dos pés e era uma sensação deliciosa.

Perdoem-me por esta nostalgia. Estas memórias vêm a propósito de jogos. Hoje vou falar de um jogo que no meu tempo de estudante jogávamos com 6 moedas - 3 brancas e 3 pretas. Colocavam-se 3 de um lado e 3 do outro, com um intervalo entre elas. Através de movimentos para a direita e para a esquerda, de acordo com algumas regras pretendia-se trocar a posição das moedas brancas e pretas no menor número de movimentos. Este jogo/problema envolve muita matemática. Vamos ver porquê.

As regras são:

1 - Uma moeda pode deslocar-se para um espaço à sua direita (moeda branca) ou à sua esquerda (moeda preta) que esteja livre;

2 - Uma moeda pode saltar por cima de outra de cor diferente desde que o espaço à sua direita ou à sua esquerda esteja livre.

3 - As moedas brancas só podem deslocar-se para a direita e as pretas só podem deslocar-se para a esquerda.

São apenas estas três regras.

 

A - Comecemos por jogar com duas moedas (discos, bolas,...) uma de cada cor.

 


 

Como se verifica bastam 3 movimentos para trocar a posição das moedas.

B - Façamos o jogo com 4 moedas, duas de cada cor.

 

 

 

 

 

Como verificamos a posição das moedas troca-se ao fim de 8 movimentos (M1, ..., M8), cumprindo as regras.

E, agora perguntamos: Quantos movimentos são necessários para mudar 3 moedas de cada cor? Ou 4, 5 ou n moedas de cada cor? Será possível descobrir uma regra que nos permita saber quantos movimentos temos de efectuar para trocar a posição das moedas?

Vejamos:

1 - Como as moedas de uma cor não podem saltar por cima das da mesma cor, significa que chegam ao seu destino mantendo as posições relativas, isto é, para cada moeda se houver n moedas de cada cor teremos de fazer n+1 movimentos. Assim, para n moedas brancas são n(n+1) e para n moedas pretas são n(n+1) movimentos. Somando as duas expressões dá no total : n(n+1) + n(n+1) = n2 + n + n2 + n = 2n2 + 2n, movimentos, se não houvesse saltos que poupam movimentos.

2 - Vamos ver então quantos saltos são dados. As moedas brancas saltam por cima das negras e vice-versa. Quantos saltos são no total? Vamos contá- los nos exemplos anteriores:

No primeiro caso foi dado 1 salto (M2) - poupou-se 1 movimento.

No segundo caso foram dados 4 saltos (M2, M4, M5, M7) - pouparam-se 4 movimentos.

E se fossem 3 moedas de cada cor, quantos saltos se davam? Se aplicarmos a primeira fórmula ao caso de 2 moedas de cada cor obtemos:

          2 x 22 + 2 x 2 = 2 x 4 + 4 = 8 + 4 = 12 movimentos

Mas só fizemos 8. Então temos de tirar 4 movimentos que correspondem aos saltos dados e movimentos poupados.

Como são 2 moedas de cada cor, então 4 = 2 x 2.

Se forem 3 moedas de cada cor, então os saltos serão 9 = 3 x 3 e se forem n moedas, então os saltos serão n x n = n2 .

Daqui podemos concluir que o total de movimento necessários para trocar a posição de n moedas de duas cores é dado pela expressão:

 

 2n2 + 2n - n2 = n2 + 2n

 

Parece evidente que agora é fácil saber quantos movimentos são necessários fazer para um determinado número de moedas. É só aplicar a fórmula anterior.

Mas, já se torna um pouco mais difícil (só um pouquinho) fazer um esquema igual ao nosso com os movimentos necessários para trocar 4 moedas de cada cor. É este o desafio que vos propomos.

Ficamos à espera das vossas respostas e comentários.

 

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publicado por Frantuco às 01:33
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Terça-feira, 16 de Junho de 2009

HIPÁTIA DE ALEXANDRIA

 

 

A história da Matemática está recheada de matemáticos-homens, ou, melhor, foi feita por homens. Ao longo dos séculos as mulheres foram sempre colocadas numa posição subalterna em relação aos homens, mas também foram sempre “sacrificadas” e marginalizadas. Apesar disso é possível encontrar na história da matemática algumas mulheres que se tornaram notadas e ficaram na história, principalmente, pela sua inteligência, pela sua cultura, pelo seu valor.

As mulheres que se destacaram na matemática até ao século XX contam-se pelos dedos das duas mãos. Entre os génios matemáticos da Antiguidade conta-se Hipátia de Alexandria (370 - 415), a primeira grande matemática de que se tem conhecimento e que ficou na história, exactamente por ser uma mulher muito bela e ao mesmo tempo com muito saber, gentileza, palavra e talento.

A sua educação envolveu arte, ciência, literatura, filosofia, oratória, retórica e religião. O seu pai, Teon de Alexandria, eminente matemático no Museu de Alexandria do qual chegou a ser director, foi o seu professor, com o qual aprendeu geometria e astronomia

Viveu numa época de confrontos religiosos e foi vítima deles. Negando ter qualquer religião, apresentando-se como ateia, foi torturada até à morte pelos seguidores de S.Cirilo, fanáticos cristãos que não lhe perdoaram a inteligência e o fulgor da sua beleza e sabedoria.

Embora não se conheça a sua obra fala-se que escreveu sobre Diofanto e Apolónio (Tratado sobre as cónicas – elipse, hipérbole e parábola) e juntamente com o seu pai terá escrito um tratado sobre Euclides. No entanto, das suas obras pouco se conhece.

Fala-se de Hipátia pelo seu destino trágico, pela sua beleza e inteligência, mas também pela sua contribuição científica. Através das cartas que um seu ex-aluno, Synesius de Cirene (370 – 413 d.C.), lhe escrevia a pedir conselhos, sabe-se que ela inventou instrumentos para a astronomia – astrolábio e planisfério – e também aparelhos para a física – o hidroscópio.

A maior parte destas informações foram obtidas no site cujo endereço é http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/hipatia/hipatia.htm

Como as mulheres matemáticas foram tão poucas e da sua obra pouco se conhece vou apresentar um enigma atribuído a uma mulher matemática, também célebre, mais pela sua origem aristocrática, filha de Lorde Byron – poeta inglês do século XIX – Augusta Ada King Byron, condessa de Lovelace.

 

Um enigma proposto por Ada Lovelace 

 

Esta mulher do século XIX (toda a sua vida decorreu durante esse século) ficou famosa, sobretudo, pelos seus trabalhos com Charles BABBAGE na invenção da sua máquina de calcular.

Segundo contam, certo dia perguntaram-lhe qual era a sua idade e ela respondeu:

“Se trocarmos a ordem dos dois algarismos da minha idade e elevarmos esse número ao quadrado, obtém-se justamente o ano em que estamos”.

Em que ano se deu esta conversa? Em que ano nasceu Ada Lovelace?

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publicado por Frantuco às 16:10
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Sexta-feira, 5 de Junho de 2009

A decomposição de números e os selos

Existe um princípio matemático que afirma o seguinte:

- Qualquer número inteiro é uma potência de base 2 ou a soma de potências de base 2.

Este princípio permite-nos fazer uma espécie de jogo com cartões em que conseguimos adivinhar o número que alguém escolheu se nos disser em que cartões está o número.

 

Para que se possa compreender façamos uma experiência:

 

- Considere o leitor  que escolheu, por exemplo, o número 27.

Em que cartões estará o número 27? Basta saber que 27 = 24 + 23 + 21 + 20 , ou seja, 27 = 16 + 8 + 2 + 1. O número 27 terá de estar em 4 cartões, porque para obtermos a soma 27 temos de utilizar 4 potências de base 2, como se viu anteriormente.

Pode é fazer-se outra pergunta:

E quais são os números que constam dos cartões?

Para responder a esta questão teríamos de construir os cartões escrevendo as potências que entram na formação de cada número:

A - 20 = 1 B - 21 = 2 C - 22 = 4 D - 23 = 8 E - 24 =16
1 2 4 8  
3 3 5 9  
5 6 6    
7 7 7    
9        
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         
         

 

Para formar o número 1 preciso apenas do peso 1 e para o 2 também só o 2; mas  3 = 1 + 2; 4 = 4; 5 = 4 + 1; 6 = 4 + 2; podemos continuar: é fácil. Inscrever na coluna de cada potência quais os números em que essa potência entra.

Tentem preencher o resto das células e acrescentem as necessárias para poderem utilizar 5 potências.

Se considerarmos 5 potências podemos formar números até 31.

 

Mas se formos a uma estação dos CTT despachar uma encomenda,  por exemplo, de 241 gramas, que pesos deve utilizar o empregado, considerando que há um número óptimo de pesos? Têm de ser potências de 2:

 241 = 27 + 26 + 25 + 24 + 20

 241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1 - 5 pesos

 

Tentem responder a este pequeno desafio:

 

- Imagine que estava numa estação dos CTT a despachar uma encomenda que pesava 255g. Que pesos devia usar o empregado, de acordo com as condições que pusemos anteriormente?

 

Já que estamos a falar de correios, recentemente encontrei um livro da editora Gradiva, de Carlos Roque e Luísa Cruz, cujo título é "Matemática ao virar da esquina", no qual é apresentado um problema que envolve selos. Como o desafio tem a ver com a decomposição de números, resolvi adaptá-lo e apresentá-lo como desafio aos leitores. Aí vai:

- A companhia de Correios onde o meu amigo Victor trabalha decidiu recentemente lançar uma edição de selos - 5 selos de valores diferentes - de modo que seja possível obter todas as tarifas de 1 cêntimo até 55 cêntimos usando apenas 4 selos. Para obter as diferentes tarifas podem repetir-se os selos. Por exemplo: 3 = 1 + 1 + 1, isto é, três selos de um cêntimo. Quais são os valores dos selos que devem  ser editados para cumprir a condição inicial?

Ficamos à espera dos vossos comentários e das vossas soluções. Bons raciocínios.

 

 

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publicado por Frantuco às 18:49
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