Sexta-feira, 30 de Outubro de 2009

Mais uma vez o regresso à memória - a travessia do deserto

Parece que hoje em dia a chamada dieta mediterrânica (eu julgo não saber o que é, mas penso tê-la praticado durante muitos anos e ainda continuo a praticar) é para os dietistas e entendidos em alimentação uma das formas mais saudáveis que as pessoas devem usar para alimentar-se.
Na casa dos meus pais, quando eu era criança e os tempos eram difíceis fazia-se uma alimentação em que se utilizavam muitos vegetais, legumes secos, leite natural e derivados como a manteiga e o queijo, pouca carne e as gorduras eram naturais, como o azeite e as do porco que se matava todos os anos no começo do inverno.
 Recentemente recordei duas receitas, bem simples, que a minha mãe usava e que hoje seriam deliciosas se se utilizassem.
Vou falar de uma que utilizava uma variedade de ervas naturais, mesmo naturais, das que se encontravam no campo, na primavera, que era uma delícia e à qual  chamávamos “Ervas”, mas que era um esparregado deslumbrante.
Recolhiam-se no campo várias espécies de ervas, como saramagos tenros, urtigas (parece estranho não!), ervas do monte (não sei outro nome), papoilas (a parte verde, não a flor), folhas e talos de favas e labaças (folha comprida e larga em forma de viola) e talvez outras ervas ao gosto das pessoas.
Migavam-se todas estas ervas juntas e misturadas, excepto as labaças que ficavam à parte, punham-se a cozer com sal.
Depois de cozidas, eram bem espremidas até ficarem sem água.
As labaças cruas, mas migadas, eram colocadas numa frigideira que ia ao lume com azeite e dois ou três dentes de alho esmagados, até ficarem tenras. Em seguida juntavam-se as ervas cozidas e escorridas, misturavam-se com as labaças e o azeite, deitava-se uma colher ou duas de farinha natural e deixava-se passar bem até ficarem embebidas de azeite e com o sabor a alho. Não levava vinagre porque as labaças são ácidas e substituem-no naturalmente. Depois é comer com fatias de toucinho frito, morcela, chouriço, farinheira e outras carnes. Mas só ainda é melhor.
A que proprósito vem isto?
A cultura popular era rica a criar receitas culinárias saudáveis e originais. Muitas vezes era necessária a imaginação que as necessidades a isso obrigavam. Mas, também tinha histórias, problemas e charadas que se contavam nas longas noites de inverno. O problema que vou apresentar é um clássico com algumas versões, pelo menos uma já informatizada. A versão que vou apresentar não foi ouvida à lareira, é evidente, mas poderia ter sido.
O deserto sempre foi um tema que atraiu as populações, pelos mistérios e atracção pelo desconhecido que encerra e pela sua ligação aos “mouros” e às suas lendas.

 

 

Mas aí vai o problema:


Um grupo de quatro aventureiros quer explorar uma parte do deserto e penetrar até 1200 km no seu interior. Têm para o fazer um gipão que pode transportar mantimentos e combustível até 800 Km. No acampamento-base, na orla do deserto, têm evidentemente tudo quanto necessitam para cumprir a aventura – combustível e mantimentos.
Torna-se imediatamente evidente que têm de fazer várias viagens e estabelecer depósitos intermédios para mantimentos e combustível, de modo a poderem fazer os 1200 km no deserto e regressar em segurança (que é fundamental).


A questão é:


Partindo da base quantas viagens são necessárias para que os nossos aventureiros consigam penetrar no deserto 1200 Km e regressar em segurança e quantos depósitos intermédios serão necessários?


Fico à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.
 

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publicado por Frantuco às 18:32
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Sexta-feira, 23 de Outubro de 2009

Grandes Matemáticos - Pitágoras

Pitágoras é especialmente conhecido pelo teorema que leva o seu nome e que quase todos os estudantes que completam o ensino básico conhecem.
Nasceu, segundo alguns, na ilha grega de Samos, no mar Egeu, no ano 580 a.C.
Segundo dizem também, embora se saiba pouco da sua juventude, ganhou prémios nos Jogos Olímpicos. Na idade adulta a sua sede conhecimento levou-o a percorrer o médio oriente e viajou pelo Egipto, Indostão, Pérsia, Creta, Palestina.
Acabou por se fixar em Crotona no sul de Itália, onde fundou uma escola (Escola Pitagórica), cuja filosofia tinha um carácter hermético e o conhecimento era transmitido oralmente, não havendo escritos. Durante cerca de 40 anos ensinou aos seus discípulos que “o número era tudo”.
“Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões”.
(in http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pitagoras.htm
)


Pitágoras estudou e construiu os poliedros regulares que ficaram conhecidos como sólidos platónicos, tendo sido Platão o seu divulgador. São cinco e aparecem associados ao universo e aos seus elementos, tendo em atenção a forma das suas faces. O dodecaedro simbolizava o próprio universo pela sua harmonia.

 


          (In http://mat.absolutamente.net/recursos/fichas/10geo/platon.pdf)


Pitágoras, no entanto, como já dissemos, é especialmente conhecido pelo seu teorema, que afirma que o quadrado da hipotenusa num triângulo rectângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.


São conhecidas algumas dezenas ou mesmo centenas de demonstrações do teorema. Vamos apresentar duas:


- Uma delas utiliza algumas peças do tangran para fazer a demonstração.
Num dos catetos do triângulo rectângulo pequeno cabe a peça quadrada do tangran; no outro cateto cabe um quadrado feito com os dois triângulos pequenos e na hipotenusa cabe um quadrado formado pelo triângulo médio e os dois triângulos pequenos. Verifica-se, assim, que o teorema fica demonstrado já que o triângulo médio é equivalente ao quadrado. Uma figura ilustra bem a situação:



Como é fácil de verificar a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois. Está assim demonstrado o teorema de Pitágoras.


- A outra demonstração é igualmente bastante elegante e tem a característica de ter sido publicada em 1876 por um dos presidentes americanos do século XIX, James Abraham Garfield (1831-1881):


Garfield começou por construir um trapézio e no seu interior três triângulos rectângulos. A figura apresentava-se deste modo:

   


Calculando a área do trapézio rectângulo cujas bases são a e b vem:


At = (a + b)/2 x h, sendo que h = a + b
At = (a + b)/2 x (a + b)
At = (a2+ b2+ 2ab)/2


Por outro lado a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos rectângulos que o constituem:


At = (a x b)/2 + (a x b)/2 + (c x c)/2
At = 2ab/2 + c2/2
At = (2ab + c2)/2


Daqui resulta que podemos igualar as duas expressões que representam a área do trapézio:


a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 retirando o denominador 2 nas duas expressões.


Simplificando, vem:


a2 + b2 = c2 , como queríamos demonstrar, já que:


c – hipotenusa
a e b - catetos


Este nosso artigo não podia acabar sem um desafio para os leitores, que tem de ter a aplicação do teorema de Pitágoras e que fomos buscar, adaptando-o, a um livro de Brian Bolt – “Mais Actividades Matemáticas”:


O Pátio Medieval


Durante a época medieval, como todos sabem, a água consumida era retirada dos poços. Num mosteiro que existia perto de Viseu, construído em volta de um pátio de forma quadrada, foi aberto um poço cuja localização está de acordo com o desenho que se segue:

O desafio que vos propomos é, utilizando o teorema de Pitágoras, calcular quanto media cada lado do pátio do mosteiro.


Ficamos à espera das vossas soluções, comentários e sugestões.
 

publicado por Frantuco às 17:54
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Sexta-feira, 16 de Outubro de 2009

Cereais, legumes, medidas e...Vida

A minha avó materna nasceu no fim do século XIX. Aliás, todos os meus avós nasceram no século XIX. Viu “morrer” a monarquia, contava histórias das invasões francesas, que encantavam os seus netos e que tinha recebido como herança dos seus avós e onde o povo era o herói. Viveu os horrores da guerra civil de Espanha e como a generosidade era uma das qualidades que a caracterizava matou a fome a muitos espanhóis que atravessavam o rio Erges para o lado português, procurando e onde sabiam encontrar guarida e algum conforto para o estômago – nem que fosse apenas um prato de feijão cozido com azeite. Era a generosidade dos que tinham pouco, mas que estavam sempre disponíveis para partilhar o pouco com aqueles que ainda tinham menos. Viviam da agricultura, que naquelas bandas e naqueles tempos (ainda hoje) não havia fábricas. Mas havia lobos, de quatro patas e de duas. O seu saber, a sua cultura, a sua linguagem reflectia a sua actividade e a época, projectando-se no futuro, recusando, por vezes, as inovações que não cumpriam, não aceitavam porque não compreendiam.
A minha avó, se hoje fosse viva, teria 113 anos.
A sua cultura, a sua fala estavam impregnadas dos termos antigos que foram adaptados aos tempos que corriam. Relembrando esses dizeres reconheço termos como quartilho, arrátel, arroba, moio, alqueire, quarta, celamim, fanega,… Também se notava, por vezes, a influência espanhola em alguns termos como jaqueta, corcho,…
Recorrer a estas memórias levou-me a procurar encontrar as razões do uso de nomes de  medidas e pesos com centenas de anos e que tinham sido substituídos por outros. Os hábitos enraizados levaram as pessoas a adoptar os novos pesos e medidas, mas mantendo a terminologia antiga fazendo a aproximação dos valores.
Um arrátel era uma medida de peso que correspondia a 459 gramas, que se transformou, pelo menos para os contemporâneos dos meus avós em meio quilograma – 500 gramas. Comprava-se na loja (mercearia) meio arrátel (250 g) de café, um arrátel de carne (500 g) no talho. As batatas para semear compravam-se à arroba que eram 15 Kg pelo sistema novo, mas que correspondiam a 32 arráteis, ou seja, 14,688Kg.
E que dizer de um alqueire? Os alqueires mediam-se em litros, mas quantos? Em muitas regiões referem-se alqueires de 14 litros. Para os meus avós e também para os meus pais um alqueire de cereal valia 16 litros. Quando se media o cereal (trigo, cevada, aveia, centeio, milho,…) os alqueires formavam os moios ( um moio valia 60 alqueires).
Naquele tempo, na minha terra não havia padarias. O pão era feito em casa e cozido nos fornos, que, por sinal eram mantidos pelos lavradores.
A farinha para fazer o pão era de trigo que era moído nas “fábricas” (era assim que eram conhecidas) . O trigo era medido às fanegas (4 alqueires) e meias fanegas.
O pão era estaladiço, com uma cor loira do calor do forno que parecia ter sido transportada da seara.
Uma cozedura durava, pelo menos, uma semana e mesmo duro era saboroso o pão.
Os legumes secos como o feijão pequeno, o grão de bico ou o feijão manteiga e o  catarino eram medidos aos alqueires, mas também às quartas (4 litros) e aos celamins (2 litros – o valor real), embora o celamim fosse uma medida antiga para cereais que equivalia em certos casos a 1/16 do alqueire.
Para medir estes legumes eram usadas medidas de madeira castanha, tendo o litro a forma de um cubo com um dm de aresta, evidentemente no interior.


(imagem retirada de www.if-nespereira.com/balanças.html)


Vamos fazer um pequeno desafio, que também o foi para os fabricantes de medidas de madeira:


- Imaginem que vos pediam para fazer uma medida cuja altura era a mesma da medida de um litro e o fundo era um quadrado cujo lado era o dobro do da medida de um litro. Qual era a sua capacidade? Era um celamim? Era maior ou menor? Mantendo a altura do litro qual deveria ser a medida do lado do fundo do celamim?

- Como sabem o celamim tinha o dobro da capacidade do litro. Será que as suas medidas deviam ter o dobro do comprimento? Que relação havia entre a capacidade da medida com o dobro das dimensões e o celamim? Ou seria que as medidas reais eram outras?


Procurem encontrar as respostas a estas questões. É esse o desafio que vos propomos. Ficamos à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.


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publicado por Frantuco às 09:44
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