Domingo, 15 de Novembro de 2009

O caderno de exercícios "Palma Fernandes"

 

 

 Problemas de idades


Há já muitos anos, quando eu era aluno do secundário (na altura não se chamava assim – era o ensino liceal), além do manual,  havia o “Palma Fernandes”, que era um livro de exercícios e problemas de Matemática, que era o “terror” dos estudantes. Ainda tenho em casa numa das estantes o “Palma Fernandes” de Matemática do 5º ano dos Liceus (correspondia ao actual 9º ano).

Estive a ler alguns dos problemas e sem querer fazer comparações com as propostas actuais, a “coisa” era complicada, especialmente na área da geometria.
Uma das críticas que se fazia ao livro era sobre os problemas que apresentava, bastantes de difícil interpretação. De entre eles destacavam-se os problemas das torneiras que enchiam um tanque em x horas e outra que enchia o mesmo tanque em y horas; mas havia outra torneira que ia esvaziando o tanque à medida que as outras o iam enchendo e despejava-o em z horas, mais horas do que demorava a encher. Pretendia-se saber ao fim de quantas horas ficava o tanque cheio. É evidente que duas torneiras a encher o tanque e outra a esvaziá-lo conduzia a desperdício de água e a situação não correspondia a algo com sentido. Um problema destes não tinha efectivamente qualquer suporte na realidade.

Vou transcrever um dos problemas de torneiras que encontrei no livro que tenho:


“Uma torneira e um cano de água enchem um tanque em 5 horas estando a água a correr por ambos. Quantas horas leva o cano a encher o tanque sabendo que demora a fazê-lo menos 24 horas do que a torneira, considerados separadamente?”

 

Também havia problemas de comboios e de ciclistas para determinar a velocidade ou o tempo que demoravam a percorrer determinada distância,…
E também havia problemas de idades. Já apresentei alguns deles, especialmente porque exigem da parte de quem pretende resolvê-los o gosto pela resolução de problemas, uma boa capacidade de raciocínio e, se a pessoa for persistente, pode melhorar a sua aprendizagem matemática ou fortalecer a sua capacidade de resolvedor de problemas.


Um dos problemas deste tipo que encontrei no livro que suscitou estas reflexões diz o seguinte e fica aqui, a par do problema das torneiras, como desafio aos leitores:


“Um pai tem 28 anos e o filho 2 anos. Daqui a quantos anos é que o produto das idades é igual a 120?”


Parece que este problema é de fácil resolução. Basta traduzir o problema por uma equação e resolvê-la.


Há, no entanto, problemas de idades que são um pouco mais complexos e exigem outro tipo de abordagem. Fica aqui um desafio para os leitores:


O Nuno tem o dobro da idade que o João tinha quando o Nuno tinha a idade que o João tem agora. A soma das idades do Nuno e do João é 56 anos.
Que idades têm agora o Nuno e o João?


Fico à espera dos vossos comentários, soluções e sugestões.
 

publicado por Frantuco às 19:44
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Terça-feira, 10 de Novembro de 2009

Os contos das noites de inverno - a moura prisioneira

Lá volto eu às memórias de infância. Os lobisomens, os fantasmas, as bruxas, os vampiros, as mouras encantadas, os gigantes, as princesas prisioneiras nos castelos que eram salvas pelos príncipes também fizeram parte do meu imaginário. De vez em quando ao ler um livro volto a recordar episódios ou histórias que são interessantes e acabam por se transformar em problemas com história. É o caso do problema que vou apresentar.
Ao ler o livro “Mais Actividades Matemáticas” de Brian Bolt encontrei um problema com o título “A deambulação da prisioneira” que trata de uma princesa prisioneira num castelo, fez-me lembrar o conto da princesa moura, que o pai fechou na torre do castelo para evitar que ela se encontrasse com o príncipe cristão por quem estava apaixonada. Felizmente a história acabou bem: o príncipe conseguiu libertá-la e levou-a para o seu reino onde casaram, tiveram filhos e foram muito felizes. Estes contos, felizmente para a sanidade mental das crianças, acabavam sempre bem: os protagonistas salvavam-se in extremis, casavam-se e eram felizes.
No entanto, à princesa do nosso problema não sei o que lhe aconteceu, mas apesar de estar fechada no castelo tinha alguma liberdade de movimentos e podia deslocar-se no seu interior e ir para o jardim, dando grandes passeios.
Vou apresentar o problema adaptado e com o auxílio de uma imagem, para se tornar mais compreensível.
  

O castelo tinha a forma rectangular e 4 torres, uma em cada canto. A princesa tinha o quarto na torre A e podia deslocar-se no castelo de uns locais para os outros seguindo os corredores representados pelas linhas. A letra H pretende representar a porta que dá acesso ao jardim e fica no piso inferior do castelo. Fica assim claro que o castelo tinha dois pisos, ficando o quarto da princesa no piso superior da torre A. Temos dois desafios para os leitores:


Primeiro desafio


Que caminhos e quantos podia a princesa percorrer da torre prisioneira A até à porta do jardim se percorresse os corredores sem nunca voltar para trás ou subir qualquer corredor? A princesa só pode andar para a frente e descer até à porta do jardim.


Segundo desafio


Descobrir quais e  quantos caminhos pode a princesa percorrer no castelo, subindo, descendo, andando para a frente ou para trás (não pode voltar a A), até chegar à porta do jardim.


Vamos dar dois exemplos:


A  
  B     F   H


A  
  D   B     F    H


Ficamos à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.


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publicado por Frantuco às 16:52
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