Domingo, 24 de Janeiro de 2010

O Ano 2010 e as potências de base 10 – III

O Sistema Internacional de Unidades de que temos vindo a falar apresenta, além das unidades SI, os múltiplos a que já fizemos referência  e os submúltiplos cujos prefixos apresentamos a seguir. É evidente que estes submúltiplos envolvem dimensões micro e vão até à dimensão da mais pequena e elementar partícula de matéria que desafia a nossa capacidade de imaginação.


Vejamos um exemplo:


- O que é um picómetro (pm)?


Para se escrever este número  como submúltiplo do metro (m) temos de utilizar um número com 12 casas decimais, ou seja:


                           0,000 000 000 001 m


Deste modo podemos afirmar que um picómetro (pm) é uma unidade comprimento que é a milionésima parte do mícron, sendo que este é a milionésima parte do metro, que se escreve com 6 casas decimais, ou seja:


                           0, 000 001 m


Alguns dos submúltiplos são nossos conhecidos dos bancos da escola nos primeiros anos. Toda a gente aprendeu que o dm, o cm e mm são os submúltiplos do metro (m).


E o que são o nanómetro, fentómetro, atómetro, zeptómetro e yoctómetro?


Sabendo que um yoctómetro (ym) se escreve com 24 casas decimais, representa evidentemente uma dimensão tão pequena que nem com imaginação conseguimos idealizá-la. Mas podemos representá-la em número e utilizando potências de base 10:


                0,000 000 000 000 000 000 000 001 = 10-24


As dimensões são tão pequenas que podemos dizer que o núcleo da célula tem a dimensão de 1 mícron, ou seja:
                             10-6 m


E se falarmos do “quark”, que pode ser considerado o limite da matéria. Neste caso estaremos a falar de dimensões ao nível de 10-16m.


Agora um pequeno desafio:


Como se escrevem em números decimais e em potências de base 10 os submúltiplos do metro referidos anteriormente, sabendo que o yoctómetro (ym) é o menor  e o picómetro (pm) é imediatamente a seguir ao nanómetro (nm), mas menor.


Parece claro que a utilização da chamada notação científica (utilização das potências de base 10) para a escrita de números muito grandes ou muito pequenos facilita essa mesma escrita e também a sua leitura. Assim vamos apresentar alguns casos e definindo uma forma prática para escrever esses números:


7 431 x  100 000 000 =


Um produto de números ou um só número transforma-se em notação científica sabendo que qualquer número inteiro é o produto de um número ≥1 e <10. Assim:


7 431 = 7,431 x 103  , isto é, coloca-se a vírgula a seguir ao 7, de acordo com a regra definida, e a potência de base 10 tem expoente 3, neste caso, que são as casas decimais que colocámos no número.


7 431 x 100 000 000 = 7,431 x 103 x 108 = 7,431 x 1011 


Como transformar este produto?


842,05 x 10 000


Neste caso será 842,05 = 8,4205 x 102 – a potência de base 10 tem expoente 2 uma vez que deslocámos a vírgula 2 casas decimais para a esquerda. Assim o número escrever-se-á:


842,05 x 10 000 = 8,4205 x 102 x 104  = 8,4205 x 10


E se utilizarmos números muito pequenos, com muitas casas decimais?
Como escrever 0,000 000 043 9 em notação científica?


Basta deslocar a vírgula para a direita e colocá-la a seguir ao 4 para cumprir a regra anterior e escrever a potência de 10 com expoente negativo e o número igual ao número de casas decimais que a vírgula foi deslocada. Isto é:


0,000 000 043 9 = 4,39 x 10-8


Um pequeno desafio para terminar:


Escrever em notação científica os seguintes números:


Massa própria do electrão:
me = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg


Massa própria do protão:
mp = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg


publicado por Frantuco às 15:48
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Sábado, 16 de Janeiro de 2010

O Ano de 2010 e as potências de base 10 - II

No artigo anterior falei do Sistema Internacional  de Unidades e dos grandes números, números com muitos zeros, que podem ser escritos utilizando potências de base 10.


Muitos  destes números têm a ver com distâncias astronómicas que os filmes de ficção científica divulgaram.


Já muitos de nós ouvimos falar em “parsecs”. O que é um parsec? Um parsec é uma unidade de distância que é usada em astronomia para medir distâncias entre as estrelas, planetas, galáxias,…

 


 

O parsec corresponde a 206 265 unidades astronómicas e a 3,26 anos-luz. Temos aqui mais duas unidades de distância.

 

A unidade astronómica (UA) é uma unidade de distância, aproximadamente igual à distância média entre a Terra e o Sol, que dará 149 597 870 km, aproximadamente 150 000 000 km ou 150 000 000 000 m.


Imaginemos agora que um astro (estrela ou planeta) se encontra a um ano-luz da Terra. A quantos km se encontra? E metros (m)?
Façamos os seguintes cálculos:
1 minuto ………………………………….................. 60 segundos
1 hora ………………………………… 60 x 60s = 3600 segundos
1 dia ……………………………… 24 x 3600s = 86400 segundos
1 ano ……………………. 365 x 86400s = 31 536 000 segundos


Sabendo a velocidade da luz que é aproximadamente 300 000 km/s (exactamente 299 792 458 km/s), um ano-luz é:


em km  - 300 000 km x 31 536 000 = 9 460 800 000 000 km, ou
em metros (m) - 9 460 800 000 000 000 m


Utilizando a velocidade exacta da luz no vácuo obtemos os seguintes valores:

299 792, 458 km x 31 536 000 = 9 454 254 955 488 km
em m – 9 454 254 955 488 000 m


Determinemos agora a distância, em km e em metros (m) a que corresponde um parsec.
Um parsec  (pc) utilizando os valores exactos será aproximadamente:
1 pc = 206 265 x 149 597 870 km
1 pc = 30 856 804 655 550 km
1 pc = 30 856 804 655 550 000 m


Fazer a leitura destes números torna-se bastante difícil pelo número de algarismos que têm. Há uma maneira bastante mais fácil de os escrever e consequentemente de os ler. Utilizar potências de base 10 e fazendo alguns arredondamentos:


1 U.A = 149 597 870 km ≈ 149 600 000 km ≈ 1, 496 x 108 km
E se trabalharmos com metros (m)?


1 ano-luz (a.l) = 9 454 254 955 488 000 km ≈ 9 454 000 000 000 000 km ≈ 9,454 x 1015 km
(Este valor representa a distância percorrida por uma “nave espacial” durante um ano utilizando a velocidade da luz).
E se a unidade fosse em metros (m)?


E como se escreve um parsec?
1 pc = 30 856 804 655 550 000 m ≈ 30 850 000 000 000 000 m ≈ 3,085 x 1016 m
Desta vez utilizamos metros na nossa transformação. E se a unidade fosse km? Como escreveríamos a distância correspondente a um parsec?

 

Imaginemos agora que embarcámos numa viagem espacial até aos confins do universo utilizando um veículo com uma velocidade muito superior à da luz:


- primeiro chegámos aos confins da nossa galáxia – a Via Láctea e percorremos 100 000 anos-luz;


- continuámos a viagem e chegámos à Nebulosa de Andrómeda que o telescópio espacial Hubble calculou que se encontra a cerca de um milhão de anos-luz. Parece evidente que não pertence à nossa galáxia.


- continuámos a viagem e percorremos uma distância correspondente à distância percorrida pela luz desde que se deu o BIG BANG (momento da formação do universo) – há cerca de 15 000 milhões de anos.

 


Escreva em notação científica (utilizando potências de base 10) os três números anteriores.


Ficamos à espera das vossas respostas, críticas e sugestões.

publicado por Frantuco às 19:02
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Segunda-feira, 11 de Janeiro de 2010

O Ano de 2010 e as potências de base 10 - I

A mudança de milénio provocou uma acesa polémica sobre o ano em que devia ocorrer. Houve defensores de um milénio com apenas 999 anos. Não deixa de ser um número curioso.


Mas parece que hoje já há poucos a pensarem que o 3º milénio começou no ano 2000. No ano 2000 terminou o 2º milénio e consequentemente o 3º começou em 2001. Deste modo o ano 2010 é também um número curioso: no dia 31 de Dezembro de 2010 termina a primeira década do 3º milénio, em que os algarismos das unidades de milhares e centenas formam um número (20) que é o dobro do número formado pelos algarismos das dezenas e unidades (10). E como qualquer outro número pode ser escrito na forma de um produto de um “número decimal” por uma potência de 10:


                                 2010 = 2,010 x 103  


A 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, realizada em 1960, aprovou o  Sistema Internacional de Unidades que, em Portugal, se tornou obrigatório em 1983. Após a sua aprovação em 1960, como dissemos, tem vindo a ser actualizado, considerando a enorme evolução tecnológica.
Em Portugal, é o Instituto Português da Qualidade (IPQ) que promove a actualização do Sistema e aprova “os padrões das suas unidades de medida.”


Dentro do Sistema cabem Grandezas e unidades de diversa ordem como Mecânica, Calor, Óptica, Química-Física, Grandezas e unidades de base, Prefixos e Nomenclatura dos grandes números,…


Como se escreve um octilião?


Um octilião, de acordo com a regra N é uma potência de base 10 e de expoente 48 que vai dar um número com 1 seguido de 48 zeros. Ou seja:


    1048 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000


A regra N determina o número de zeros de um número de acordo com o que se segue:


             106N = (N)ilião


Se se entender que um milhão leva 6 (seis) zeros é fácil aplicar a regra:


106 = 1 000 000  ………………………………………… milhão

1012 = 1 000 000 000 000 ……………………………... bilião


1018 = 1 000 000 000 000 000 000 …………………... trilião


1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 ………... quatrilião


Como se lerão os números correspondentes às potências 1030, 1036 e 1042?


E os números correspondentes às potências 109, 1015 e 1021?


As unidades SI têm múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com prefixos e que estão também associados a potências de base 10.
Para as grandezas de comprimento a unidade de base é o metro, cujo símbolo é m. Os múltiplos do metro (m) são:


deca + metro …………… da + m (dam) …………………. 101
hecto + metro …………..  h + m (hm) ……………………. 102
quilo + metro ………….... k + m (km) …………………….. 103


Se as grandezas forem outras, como as de massa, os múltiplos vão ter nomes com os mesmos prefixos, mas adaptados às grandezas.


Um pequeno desafio:


Descobrir múltiplos de grandezas cujos prefixos sejam:
yotta …………………………………………….............. 1024
zetta …………………………………………….............. 1021
exa ………………………………………………............ 1018
peta ………………………………………………........... 1015
tera ………………………………………………............1012
giga ………………………………………………........... 109
mega ……………………………………………............. 106


O próximo artigo será à volta deste assunto, tendo em atenção os submúltiplos das grandezas e que importância têm estes números para a ciência.


Fico à espera dos vossos comentários, críticas e sugestões.

 

publicado por Frantuco às 15:50
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