Domingo, 14 de Março de 2010

Sempre os problemas

A resolução de problemas exige a quem pretende praticá-la a realização de um conjunto de tarefas numa determinada sequência que o leva ao resultado.


Os novos programas de Matemática do Ensino Básico propõem “A Resolução de Problemas” como uma das competências transversais a desenvolver por todos os alunos.


Desde os meus tempos de estudante tive sempre uma predilecção por todo o tipo de problemas e a respectiva resolução, porque  fazer Matemática exige RESOLVER PROBLEMAS que leva seguramente ao desenvolvimento da capacidade de raciocinar, que é fundamental  em todos os aspectos da vida.


Não é segredo nenhum que desde os mais remotos tempos da humanidade, desde que o Homem começou a ter necessidade de resolver problemas , situações do dia a dia, utilizou e desenvolveu a Matemática nesse sentido. No entanto, não havia um método específico de resolver problemas que o ajudasse a encontrar a solução ideal para o que o preocupava.


Em 1944 foi impresso pela primeira vez na Universidade de Stanford um livro de um matemático chamado George Polya cujo título original é “How to solve it – A New Aspect  of Mathematical Method” que diz no primeiro parágrafo do seu prefácio “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema”. 


Este livro foi publicado em Portugal  por Gradiva – Publicações, Lda. com o título de “Como resolver problemas”, em 2003. Logo nas primeiras páginas, especificamente na página 16, apresenta um modelo de resolução de problemas, o que julgo ser a primeira vez que é feito de forma sistematizada. O modelo proposto pelo sr. Polya diz o seguinte (sintetizado):


COMO RESOLVER UM PROBLEMA


Primeiro  –  COMPREENSÃO DO PROBLEMA


 - É evidente que esta etapa exige a leitura atenta do problema, a recolha de dados, e outros aspectos como as incógnitas, o que se pretende calcular,….


Segundo  -  ESTABELECIMENTO DE UM PLANO


 - Um bom plano, que considere  todos os aspectos do problema facilitará a procura da solução. Não esquecer que pode haver mais do que um caminho para resolver determinado problema.


Terceiro  –  EXECUÇÃO DO PLANO


- Convém executar o plano acompanhando todos os seus passos e verificar se estão correctos.


Quarto – VERIFICAÇÃO


- Verificar o resultado. Como? Vendo se há congruência entre os dados do problema e o resultado final. Mas, verificar também se é possível haver outros métodos de resolução.


É evidente que para conhecermos com profundidade o pensamento do sr. Polya o melhor é ler o seu livro.
Mas, a melhor forma de aprender a resolver problemas é resolvendo muitos. Haverá sempre uns mais fáceis e outros mais difíceis. Encontraremos sempre algumas dificuldades, mas com a persistência chegaremos sempre ao resultado. O importante é não desistir.


E agora é a altura de apresentar um desafio. Um problema. Conheço várias versões deste problema e também mais do que um método de resolução. A versão que vou apresentar permite resolvê-lo utilizando o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos.

Vejamos então o problema:


No tempo em que os namorados tinham de ter algum engenho para se encontrarem com as suas amadas, encontraram-se, numa mesma rua, dois jovens, cada um com sua escada, que tentavam utilizar para chegar à janela do seu amor. As janelas referidas ficavam em frente uma da outra, mas a alturas diferentes. Uma das janelas é representada no esquema pelo ponto A e a outra pelo ponto C. Uma das escadas tem de comprimento 10 metros e a outra 8 metros e cruzam-se a 4 metros do solo.


O esquema que se segue ilustra a situação:








O que se pretende é saber a altura de cada uma das janelas que os nossos enamorados tinham de atingir para beijarem os seus amores.


Fico à espera das vossas sugestões, soluções ou críticas.
 

 

palavras-chave: ,
publicado por Frantuco às 17:39
link do artigo | comentar | favorito
Segunda-feira, 8 de Março de 2010

O regresso à memória novamente - Algoritmos - A multiplicação russa

Quando recuo no tempo e entro nas recordações da infância trago à memória figuras humanas que deixaram impressões que me acompanharam ao longo da minha existência.


A maior parte delas já não pertence ao número dos vivos. Algumas passaram pela vida e não construíram nada que perdurasse no tempo. Outros, pelo contrário, foram figuras cuja presença nunca foi indiferente aos que conviveram com eles.


A figura de que vou falar era um grande contador de histórias e essencialmente um criador de episódios biográficos inventados, mas de tal maneira convincentes que quem o ouvia era incapaz de duvidar da sua veracidade.
Eram famosos os episódios da sua vida no Brasil, onde nunca tinha estado, e que contava aos forasteiros que paravam na taberna onde passava as tardes depois de dormir a sesta, que fazia todo o ano. Os conterrâneos presentes e que já conheciam as histórias ouvidas noutras ocasiões tinham alguma dificuldade em conter o riso perante os pormenores da falsa autobiografia. É claro que o forasteiro não se manifestava, mas tudo indicava que “engolia” as patranhas pelas perguntas que de vez em quando fazia, o que animava ainda mais o ambiente. A gargalhada geral explodia no fim, depois da saída da “vítima”. As mentiras eram completamente inócuas e as histórias acabavam por preencher o tempo de forma agradável e não provocavam danos ou faziam mal a alguém.


Ainda estou a vê-lo, alto, bastante alto, magro, de bigode aparado, quase sempre sentado num batorel (assento de pedra) junto de uma porta, na estrada que atravessa a freguesia, com as pernas dobradas de tal maneira que um dos pés passava por trás da outra perna e para ser tirado era preciso levantar-se.
Foi caçador quase até ao fim da vida, só parando quando o reumatismo o impediu de se deslocar e lhe provocava dores de que se queixava.
Embora sem formação académica tinha conhecimentos de várias áreas, como geografia, história e também tinha alguns conhecimentos de matemática, apresentando, por vezes alguns problemas interessantes. Lembro-me de lhe ter ouvido falar que os camponeses russos no século XIX faziam a multiplicação utilizando uma maneira diferente da nossa. Só mais tarde descobri o famoso algoritmo que é deveras interessante e onde as potências de base dois mais uma vez têm o seu protagonismo.


Vejamos como os camponeses calculavam os produtos de que necessitavam no seu dia a dia. Imaginemos que um camponês vendeu 27 animais a 42 rublos cada um. Quanto realizou na venda?


Se fosse hoje utilizávamos uma máquina de calcular e obtínhamos o resultado imediatamente.


Se fosse nas décadas de 50 e 60 do século passado utilizávamos o algoritmo tradicional e demorávamos mais algum tempo, mas obtínhamos o resultado.


No entanto, os camponeses russos do século XIX faziam outras contas. Vejamos:
- Colocavam os números assim:

 

                                       

      
- O número 27 era dividido por 2 ignorando o resto e o 42 era duplicado.
- Continuando a dividir o número do lado esquerdo até obtermos 1 e a duplicar os números do lado direito.


Agora impõe-se uma pergunta: como é que chegamos ao resultado? Onde entram as potências de base dois?


O resultado obtém-se somando os números do lado direito que correspondem no lado esquerdo a números ímpares. Vejamos:


27 x 42 = 42 + 84 + 336 + 672 = 1 134


Utilizando uma calculadora rapidamente verificamos o resultado.


Temos de responder à segunda pergunta: “Onde entram as potências de base dois?”


- na coluna da esquerda, quando dividimos sucessivamente por dois(2) estamos a escrever o número 27 na base dois (2) ou seja:


27 ≡ 11011(2), ou seja se dividirmos 27 e os quocientes obtidos sucessivamente por 2 até obtermos quociente 1 teremos 27 na base 2:



                          

 



Tal como os números na base 10, também é possível decompor nas suas ordens os números escritos em qualquer base. Assim:


11011(2) = 1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 ou


11011(2) = 24 + 23 + 21 + 1


Se efectuarmos as operações obteremos 27 que é o número original na base 10.


Do lado direito, o número 42 foi duplicado e seguidamente foram sendo feitas duplicações, o que corresponde a multiplicar o número 42 sucessivamente por 2, 22,  23, 24.
Com um pequeno raciocínio chegamos à seguinte conclusão:


27 x 42 = (24 + 23 + 21 + 1) x 42 ou


27 x 42 = 24 x 42 + 23 x 42 + 21 x 42 + 1 x 42 ou


27 x 42 = 16 x 42 + 8 x 42 + 2 x 42 + 1 x 42 ou


27 x 42 = 672 + 336 + 84 + 42 – os números da segunda coluna correspondentes aos números ímpares da primeira coluna, apresentados na ordem inversa, tendo em atenção as potências de base dois que foram crescendo.


27 x 42 = 1134 , tal como tínhamos concluido no início.


Agora para terminar um pequeno desafio:


Aplicando o algoritmo dos camponeses russos tente calcular:


23 x 57=
e
31 x 46 =


 

palavras-chave:
publicado por Frantuco às 11:59
link do artigo | comentar | ver comentários (1) | favorito

.mais sobre mim

.pesquisar

 

.Abril 2011

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

.artigos recentes

. A pérola falsa

. Fazendo humor com a Matem...

. O Problema de Monty Hall

. CABECINHAS PENSADORAS…. f...

. Regressamos sempre às raí...

. Os bilhetes de metro

. Sempre os problemas

. O regresso à memória nova...

. Grandes Matemáticos - Tha...

. O Ano 2010 e as potências...

. O Ano de 2010 e as potênc...

. O Ano de 2010 e as potênc...

. As cidades, as vilas, as ...

. O caderno de exercícios "...

. Os contos das noites de i...

. Mais uma vez o regresso à...

. Grandes Matemáticos - Pit...

. Cereais, legumes, medidas...

. Memórias I

. O Labirinto

. Rãs e Sapos ou Ovelhas e ...

. Rãs e Sapos ou Ovelhas e ...

. HIPÁTIA DE ALEXANDRIA

. A decomposição de números...

. Grandes Matemáticos - Leo...

. Os algoritmos - o número ...

. Os algoritmos - o código ...

. Os caminhos do João

. As probabilidades no dia ...

. As probabilidades no dia ...

. O tempo, os relógios e as...

. As probabilidades e os an...

. Vamos aos gambuzinos

. O jardim de pedra

. De novo as eleições - as ...

. Os frutos secos do Natal

. As caminhadas, as pesagen...

. O Método de Hondt

. O jogo do NIM - segunda v...

. O jogo do NIM - primeira ...

. A travessia da ponte - no...

. Algoritmos - A fórmula de...

. Algoritmos - O teorema de...

. Um problema de idades

. INVERSÕES

. A travessia da ponte

. O carteiro, as idades e o...

. A herança do lavrador

. O relógio, as horas e os ...

. A decomposição de números...

.arquivos

. Abril 2011

. Fevereiro 2011

. Janeiro 2011

. Novembro 2010

. Junho 2010

. Março 2010

. Fevereiro 2010

. Janeiro 2010

. Dezembro 2009

. Novembro 2009

. Outubro 2009

. Agosto 2009

. Julho 2009

. Junho 2009

. Maio 2009

. Abril 2009

. Março 2009

. Fevereiro 2009

. Janeiro 2009

. Dezembro 2008

. Novembro 2008

. Outubro 2008

. Setembro 2008

.palavras-chave

. todas as tags

.links

.Contador

Expedia
Expedia Discount Travel