Domingo, 3 de Abril de 2011

A pérola falsa

Este é um problema clássico que tem muitas versões, especialmente com moedas verdadeiras e falsas, umas mais leves, outras mais pesadas. Uma das versões com moedas foi-me contada por um aluno, de nome Luís, cuja imagem permanece na minha memória por razões que vou contar a seguir.

Não era um aluno brilhante a matemática. Tinha uma aptidão especial para a música e até a maneira como se apresentava dava a ideia de ser um “artista”, se existe uma forma específica para os “artistas” se vestirem e se comportarem.

Estou a vê-lo. Tinha 16 anos. Fisicamente bem constituído. Não muito alto, mediano, cara arredondada, sem ângulos, olhos claros, cujo tom azulado se via através dos óculos de aros redondos, lentes bastante grossas. Mas o que o distinguia era um sorriso permanente, bem disposto e um rabo de cavalo de um cabelo liso castanho, que ele usava apanhado pelas costas abaixo.

Este jovem, como já disse, tinha algumas dificuldades na matemática, embora tivesse uma boa capacidade de raciocínio que nem sempre usava da maneira  mais eficaz. Habitualmente bem humorado, as suas respostas tinham sempre qualquer coisa que nos divertia e os colegas costumavam ouvi-lo com atenção. Embora fosse um bom conversador, um dia, de forma pouco habitual, pediu-me com muita seriedade se podia apresentar um problema para eu resolver. É evidente que fiquei satisfeito com a sua proposta e pedi-lhe para ler o problema a todo o grupo. Já não o tenho registado, mas ainda tenho o essencial na memória. E apresentou assim o problema:

- Num barco de passageiros que se dirigia para a América do Sul, no princípio do século XX, os passageiros, para passarem o tempo organizavam jogos e apresentavam problemas para resolver. Um dos passageiros, um homem alto e claramente bastante culto, colocou a seguinte questão:

 “Tenho na minha posse 9 moedas de prata aparentemente todas iguais. No entanto, sei que uma delas, embora pareça exactamente igual às outras, é ligeiramente mais fina e pesa um pouco menos. Contudo, não se consegue distinguir à vista desarmada. Tenho, portanto, de as pesar. O que eu peço é que descubram qual é o menor número de pesagens que  devo efectuar com uma balança de dois pratos para descobrir a moeda mais leve. Falta dizer que não é necessário utilizar pesos.”

 


Este foi o problema que o Luís me apresentou e é um primeiro desafio que eu deixo aos leitores. Posso acrescentar que este problema tem muitas versões e o número de pesagens necessárias para descobrir a moeda mais leve ou mais pesada depende do número total de moedas, mas não varia muitas vezes (curiosamente o número máximo de moedas que se podem pesar com 2, 3, 4,... pesagens é uma potência de base 3). Podem fazer experiências utilizando um número diferente de moedas: 5, 6, 7, 8, 9,…

Este problema voltou-me à memória porque um leitor enviou-me um desafio, que em vez de moedas envolve pérolas e temos de descobrir uma pérola falsa, que é menos pesada que as outras. O sr. José Martins deixou a seguinte missiva na resposta que me enviou sobre o problema do almoço dos três amigos. E diz o seguinte:

“- Agora é a minha vez de lhe colocar um problema. Se achar que tem interesse pode publicá-lo. Se  não, esqueça.
- Então é assim: Tenho num cofre 8 pérolas todas iguais no feitio, no tamanho e na cor. 7 têm o mesmo peso e uma é um bocadinho mais leve. Utilizando uma balança e com duas pesagens apenas quero saber qual é a mais leve. Como devo proceder.”

 


Aqui deixo este desafio para os leitores e fico à espera das vossas respostas, soluções, comentários, críticas e sugestões.

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publicado por Frantuco às 00:25
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8 comentários:
De Miguel Oliveira a 17 de Abril de 2011 às 13:17
O desafio proposto pelo aluno, isto é, com as 9 moedas tem mais interesse do que este outro onde apenas são colocadas 8 pérolas. De facto, a solução é igual para 8 ou 9 pérolas.

Gostaria de deixar aqui também um pequeno desafio.
"Usando uma balança com 2 pratos, qual o número mínimo e quais são os pesos necessários para pesar qualquer objecto cujo peso seja um número inteiro entre 1 e 121?"

Espero que ache este desafio interessante.
De Frantuco a 18 de Abril de 2011 às 00:29
Tem toda a razão Miguel Oliveira. As soluções são iguais. No entanto, o que se pretende é que haja uma explicação de todos os passos necessários para descobrir quer a moeda quer a pérola falsa.
Por outro lado, se forem dez pérolas a solução já é diferente e igual, por exemplo, para um conjunto de vinte e seis moedas. Já agora seria um bom desafio para si se conseguisse encontrar uma regularidade que relacione o número de pérolas ou moedas com o número de pesagens.
Quanto ao desafio que me apresenta é de facto interessante. Vou tentar resolvê-lo e construir uma história à volta dele.
Obrigado pela participação.
Frantuco
De Miguel Oliveira a 18 de Abril de 2011 às 07:41
A regularidade mais simples que podemos encontrar que relaciona o número de moedas/pérolas com o número de pesagens é de que o número de pesagens é igual ao menor inteiro maior ou igual que o logaritmo na base 3 do número de moedas/pérolas.
De Sérgio a 25 de Agosto de 2011 às 14:25
Por acaso, no tempo em que andava a estudar, colocaram o problema do mês que pedia: determinar a moeda falsa com duas pesagens num conjunto de nove moedas nas condições deste artigo.

A solução pareceu-me simples: dividir as moedas em três grupos com três moedas cada. Comparar os pesos com uma balança. Se forem diferentes, a moeda está no que pesa menos. Caso sejam iguais, a moeda encontra-se naquele que não foi pesado. Consideramos o subconjunto de moedas que contém a moeda falsa e dividimo-lo novamente em três grupos de uma moeda cada. O processo descrito permite determinar a moeda falsa à segunda tentativa.

Se fossem 8 pérolas, dividimos em dois grupos de três cada e um grupo de duas, repetindo o processo. Daí o número de pesagens necessárias se relacionar com o logaritmo na base três do número de objectos.

No entanto ainda faltaria mostrar que não há soluções melhores - isso é outra questão.
De Natasha Ferreira a 18 de Novembro de 2011 às 18:56
Olá muito boa tarde, sou estudante do Ensino Secundário (11ºano) e venho muitas vezes a este blog, e gostaria de solicitar a sua ajuda para a resolução deste desafio matemático que me está a dar volta à cabeça!

Preciso de fazer 5€ ou 3€ em 20 moedas
Dessas 20 moedas preciso de utilizar moedas de 20 centimos, 50 centimos e 5 centimos (todas elas precisam de ser utilizadas pelo menos uma vez).

Já tentei tudo e mais alguma coisa, mas o resultado mais perto que consegui chegar de 5€ foi de 4.90, sendo assim tentei fazer a outra hipótese que era o total de 3€ mas ainda achei mais dificil! Precisava mesmo da sua ajuda, é urgente!

Muito Obrigada, e peço desculpas pelo incómodo,

Natasha Ferreira

(gostaria que me mandasse a ajuda para o meu e-mail)
De Frantuco a 19 de Novembro de 2011 às 16:06
Natasha
para lhe poder enviar a resposta para o seu mail tem de mo enviar. Através do comentário que deixou eu não consigo comunicar consigo a não ser desta forma.

Frantuco
De Miguel a 1 de Abril de 2012 às 12:03
A resolução do exercícios proposto é impossível. Uma condição necessária para que o problema tenha solução é que o total que queremos obter seja um número da forma 3n+1, com n um número natural. Como nem 5 nem 3 estão nessas condições, não é possível chegar à solução.
De Antonio a 30 de Julho de 2012 às 21:01
Um problema mais interessante é o seguinte:
Tenho doze pérolas. Onze delas têm exatamente o mesmo peso. Uma delas tem um peso ligeiramente diferente das demais. A diferença, porém, é tão pequena que não se sabe se é mais pesada ou mais leve que as outras. Qual é o número mínimo de pesagens em uma balança de pratos para que eu possa dizer com certeza qual é a pérola diferente? Uma segunda pergunta é: qual é o número mínimo de pesagens para que além de poder indicar qual é a pérola diferente. eu também possa dizer se ela é mais pesada ou mais leve que as demais?

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