Sábado, 25 de Outubro de 2008

Números e cálculo mental

Muitos dos padrões, regularidades, conexões ou simplesmente relações invulgares entre os números ou dos números não têm aplicações práticas e funcionam muitas vezes, apenas, como curiosidades que servem para entusiasmar quem se interessa pela linguagem numérica.

 

No entanto, nada nos garante que, no futuro, muitas das regras, axiomas, postulados, conjecturas, teoremas, demonstrações relativos aos números e, que hoje, apenas importam enquanto ciência, não venham a ter, como a grande maioria dos conhecimentos que o Homem obteve, aplicações práticas importantes para o desenvolvimento da sociedade e da humanidade.

 

O que vamos apresentar hoje não é curiosidade dos números. Tem a ver com a nossa capacidade de cálculo mental e de análise.

 

Imaginemos que estamos conversando com um amigo ao qual pedimos para nos dizer um número de três algarismos diferentes (convém que sejam diferentes – torna-se mais interessante).

 

O nosso amigo diz-nos

                                                                         

                                                          572

 

O que fazemos com este número?

 

Dizemos ao nosso amigo que para ele escrever o algoritmo de uma adição com várias parcelas em que a primeira é o número que ele nos disse.

                       

                                                                            572

 

 

 

 

                                                                  

                                                                   +__________

                                                                      3 1 0 8

 

 

- A adição está incompleta – dirá o nosso amigo e qualquer leitor. Nesta altura nós dizemos:

 

- Coloca debaixo da primeira parcela todos os restantes números que se podem escrever com os mesmos algarismos, que, neste caso são 5,7,2.

 

Quantos números é possível escrever com estes algarismos?

 

O nosso amigo vai escrever 527, 725, 752, 275 e 257. Em seguida vai somá-los todos (incluindo o primeiro):

 

572 + 527 + 725 + 752 + 275 + 257 = 3108

 

Podem experimentar, o resultado está certíssimo.

 

Podemos continuar com as operações e estabelecer algumas relações/conexões.

 

Se dividirmos                   

                                                      3 108 : 14 = 222

 

Mas, perguntarão:

 

- Porquê dividir por 14?

 

Vamos tentar fazer uma pequena investigação.

 

 Vamos tentar descobrir quantas somas é possível obter, tendo em atenção os seus algarismos.

 

Para facilitar os cálculos façamos uma tabela:

 

- A soma menor que é possível obter é 3, considerando que os algarismos são todos diferentes e incluímos o zero, embora à esquerda do número não tenha qualquer valor.

 

 

SOMAS Algarismos Total - grupos
3 0,1,2  1
4 0,1,3  1
5 0,1,4//0,2,3  2
 6 0,1,5//0,2,4//1,2,3  3
 7  0,1,6//0,2,5//0,3,4//1,2,4  4
 8  0,1,7//0,2,6//0,3,5//1,2,5//1,3,4  5
 9  0,1,8//0,2,7//0,3,6//0,4,5//1,2,6//1,3,5//2,3,4  7
10  0,1,9//0,2,8//0,3,7//0,4,6//1,2,7//1,3,6//1,4,5//2,3,5  8
11  0,2,9//0,3,8//0,4,7//0,5,6//1,2,8//1,3,7//1,4,6//2,3,6//2,4,5  9

12

0,3,9//0,4,8//0,5,7//1,2,9//1,3,8//1,4,7//1,5,6//2,3,7//2,4,6

//3,4,5

10
 13

0,4,9//0,5,8//0,6,7//1,3,9//1,4,8//1,5,7//2,3,8//2,4,7//2,5,6

//3,4,6

10
 14

0,5,9//0,6,8//1,4,9//1,5,8//1,6,7//2,3,9//2,4,8//2,5,7//3,4,7

//3,5,6

10
 15

0,6,9//0,7,8//1,5,9//1,6,8//2,4,9//2,5,8//2,6,7//3,4,8//3,5,7

//4,5,6 

10
 ............   ...................................................................  .....

 

Espero não me ter enganado.

 

Quantos grupos é possível formar cuja soma seja 17? E para a soma 22? E qual é a maior soma que é possível obter com algarismos diferentes? Quantos grupos é possível formar para obter essa soma?

 

Com os algarismos 6, 9, 8 podemos escrever 986, que é o maior número que é possível escrever com estes algarismos. Se 986 for a primeira parcela de uma adição, em que as outras cinco parcelas são formadas pelos mesmos algarismos, a soma será 5106?

 

Para confirmar é escrever os números e fazer as contas.

 

Se dividirmos 5106 por 23 vai dar um quociente igual a 222. Lá vem o 222.

E porquê dividir por 23? Exactamente, é isso mesmo: a soma dos algarismos do número 986.

 

Será que este resultado se obtém com qualquer número de três algarismos?

É fazer a experiência.

 

Agora já podemos tentar descobrir os seis números que somados dão uma soma de 4662.

 

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publicado por Frantuco às 17:39
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