Sexta-feira, 21 de Novembro de 2008

A decomposição de números e os bombons de chocolate

A decomposição de números em somas é uma das primeiras capacidades/competências da Matemática que os alunos desenvolvem na escola.

Começam por aprender a decompor números até 10. Curiosamente, se tentarmos a decomposição dos números em somas a partir de 1 encontraremos uma regularidade interessante.  

Por exemplo, o número 5 pode obter-se através de um conjunto significativo de maneiras diferentes:

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

5 = 2 + 2 + 1

5 = 3 + 1 + 1

5 = 3 + 2

5 = 4 + 1

 

Faltam algumas. Deixo ao leitor a descoberta das outras. Tente fazer o mesmo para os outros números até 10 e descubra a regularidade.

 

Há outros tipos de decomposição  de números. Aliás, o teorema fundamental da aritmética afirma que qualquer número natural maior que 1 e não primo pode decompor-se num produto de números primos ( Por exemplo 45 = 3 x 3 x 5 ou 56 = 2x 7) .

A prática das diferentes maneiras de decompor um número é um óptimo exercício para desenvolver o cálculo mental e os professores utilizam essas técnicas com alguma frequência. 

Qualquer número inteiro pode ser decomposto de acordo com as suas ordens: unidades, dezenas, centenas,... Mas também se sabe, embora ainda não tenha sido demonstrado, que qualquer número par maior que 4 é a soma de pelo menos dois números primos (Por exemplo 28 = 17 + 11 ou 28 = 23 + 5).

Podíamos continuar a falar de outras formas de decomposição de números, mas já está alguém a pensar "Para que é toda esta conversa?". É exactamente para vos apresentar um pequeno desafio que me ocorreu numa aula a que assisti e na qual a professora propunha aos alunos que descobrissem que tipo de número obtinham "Par ou ímpar" ao multiplicarem dois números. É evidente que a resposta dependia dos números iniciais: o produto de dois números pares dá sempre um número par. E um par e um ímpar? E dois ímpares?    

 

Há algum tempo, ao ler o livro "Matemática ao virar da esquina" de Carlos Roque e Luisa Cruz encontrei um problema que propunha desafio semelhante. Aqui vai para quem gosta de desafios matemáticos e de resolver problemas (adaptado):

 

- A minha filha Ana gosta muito de chocolates, mas, tal como outros alimentos, comidos em excesso fazem mal. Deste modo, para controlar o seu apetite por chocolates propus-lhe o seguinte: tens aqui esta caixa de 36 (trinta e seis) bombons de chocolate. Podes comê-los em cinco dias, mas tens de comer em cada dia um número ímpar de bombons e tens de comer bombons em todos os cinco dias propostos.

 

A última parte da proposta justifica-se porque, como é evidente, ela poderia comer (por exemplo) 27 bombons num dia e 9 no outro e lá se iam os 36 bombons; mas assim não cumpria uma das condições da proposta, que era comer bombons todos os cinco dias.

 

Será o leitor suficientemente simpático para ajudar a minha filha Ana a comer os bombons de chocolate?

                                                

publicado por Frantuco às 19:52
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