Quarta-feira, 26 de Novembro de 2008

O relógio, as horas e os ângulos

Os relógios digitais destronaram os relógios de ponteiros, que são hoje  considerados quase como relíquias.

O relógio da imagem tem como todos os relógios tradicionais três ponteiros e tem os números de 1 a 12.  Esta breve observação permite-nos concluir que é possível encontrar algumas curiosidades matemáticas e até questões matemáticas que exigem um raciocínio apurado. Vamos propor um pequeno desafio:

 

- Com três segmentos de recta dividir o mostrador do relógio em três partes de modo que as somas dos números de todas as partes sejam iguais.

 

É possível através de um modelo do mostrador do relógio com apenas os números descobrir o número que uma qualquer pessoa escolha. Esta "magia"  também tem  a ver  com regularidades matemáticas.

Mas, o desafio que queremos propor aos leitores é um clássico que quando aparece conduz vulgarmente a discussões acaloradas.

Se olharmos para a posição dos ponteiros das horas e dos minutos vemos que fazem um deterninado ângulo, que neste caso é obtuso (tem mais de 900). Na realidade os ponteiros formam dois ângulos, um convexo (neste caso o ângulo obtuso referido) e um côncavo (o ângulo maior que vai do 6 até ao ponteiro das horas a seguir ao número 2).

Se acompanharmos durante algumas horas os ponteiros do relógio chegaremos a algumas conclusões interessantes: os ponteiros fazem ao longo de 24 horas uma infinidade de ângulos agudos (menores que 900) e de ângulos obtusos. Fazem alguns ângulos rasos (ângulos de 1800). E perguntamos nós: Quantos em 24 horas?

 

Contudo, o que nos interessa estudar é quantos ângulos rectos (ângulos de 900) formam os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio durante 24 horas. E a que horas fazem os ponteiros esses ângulos?

 

Vamos dar algumas sugestões para que os leitores possam encontrar as respostas.

As duas perguntas estão relacionadas e para responder a uma temos de responder à outra.

Às 3 horas e às 15 (3 da tarde), às 9 e às 21 horas forma-se um ângulo exacto de 900. Já são 4. Mas também se formam ângulos rectos perto das 3 horas e 30 minutos e perto das 9 horas e 30 minutos. Quer dizer no espaço de uma hora formam-se dois ângulos. Será sempre assim?

Vamos pressupor que a velocidade dos ponteiros é uniforme. Deste modo o  ponteiro dos minutos (o ponteiro maior) demora 60m a fazer um ângulo de 3600, ou seja, o arco que corresponde a 5m tem 300 e logo 1m corresponde a 60.  O ponteiro das horas é muito mais lento e assim demora 12h para fazer um ângulo de 3600, isto é, 1h para 300 e 0,50

para 1m. 

O relógio que apresentamos marca 3 horas e faz um ângulo recto. 



O próximo ângulo recto devia ser às 3h e 30m se o ponteiro das horas não se deslocasse. Mas não é isso que acontece. O ponteiro dos minutos desloca-se 1800 (meia hora) e o das horas desloca-se 150 ou seja 0,50 por minuto.

Deste modo o relógio não faz ângulo recto às 3h30m, mas mais tarde.

Vamos ver quando.

Como o ponteiro das horas se desloca 150, então o ângulo às 3h30m é apenas de 750.  Para obtermos um ângulo de 90temos de fazer as seguintes operações: 

90= 750 + 6t - 0,5t        

900 - é o ângulo que queremos obter

750 - é o ângulo que os ponteiros fazem às 3h30m

6t - 6 é o ângulo que o ponteiro dos minutos faz num minuto e t é o número de minutos que percorre até formar um ângulo de 900. É o valor de t que queremos calcular para sabermos as horas a que os ponteiros voltam a fazer um ângulo recto 

0,5t - 0,5 é o ângulo que o ponteiro das horas faz num minuto e t é o número de minutos que percorre até formar um ângulo de 900, que é igual ao anterior.

Calculando o valor de t  vamos obter t = 16/5,5  ou seja  t = 2,72727272

Transformando t em minutos e segundos dá t = 2m 44s (aprox.)

Daqui se conclui que o novo ângulo recto se obtem às 3h30m + 2m44s = 3h32m44s.

Todos os outros ângulos se obtêm de modo semelhante e a partir das 3 horas ou a partir das 9 horas, quando se obtem um ângulo recto às 9h exactas.

Basta calcular o número de ângulos e horas para metade do dia (12h), porque a outra metade será igual.

 

Se pensarmos um pouco e talvez com um esquema se consigam obter as horas.

Há ainda outro desafio a resolver: Quantos ângulos rasos e a que horas se obtêm?

 

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publicado por Frantuco às 23:35
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