Quinta-feira, 2 de Outubro de 2008

Sequências de somas de cubos

Hoje vamos apresentar um novo desafio que é mais uma pequena investigação. Não tem a ver com questões práticas, mas permitem-nos descobrir relações entre os números que são bastante interessantes.

 

Podemos chamar à investigação que vamos fazer “somas de cubos”. Em que consiste? A palavra cubo tem a ver com o número 3. Assim, propomos que se seleccione um número de dois algarismos que seja múltiplo de três (3). Vamos escolher, por exemplo, o 15. Em seguida calculamos os cubos dos seus algarismos e somamos; ao novo número fazemos a mesma coisa: cubos dos algarismos e soma; continuamos o processo até que verifiquemos que alguma coisa está a acontecer:

 

15 ----- 13 + 53 = 1 + 125 = 126

126 --- 13 + 23 + 63= 1 + 8 + 216 = 225

225 ---- 23 + 23 + 53 = 8 + 8 + 125 = 141

141 ---- 13 + 43+ 13 = 1 + 64 + 1 = 66 

66 ------ 63 + 63 = 216 + 216 = 432

432 ---- 43 +  33 +  23 = 64 + 27 + 8 = 99

99 -----  93 + 93 = 729 + 729 = 1458

1458 -- 13 + 43 + 53 + 83 = 1 + 64 + 125 + 512 = 702

702 -----73 + 23 = 343 + 8 = 351

351 ---- 33+ 53 + 13 = 27 + 125 + 1 = 153

153 ---- 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153

 

A partir deste momento temos a certeza que o resultado se vai repetir indefinidamente, porque os algarismos são os mesmos – 1, 5, 3.

 

- Propomos que se faça o mesmo com todos os números de dois algarismos múltiplos de 3. Descrever o que acontece. Qual é o número que precisa de mais operações (passos) até se começar a repetir? Qual foi a soma mais elevada que se atingiu?  

                                        

Sugere-se a elaboração de uma tabela para se verificarem mais facilmente os resultados obtidos; ou então um percurso com os valores obtidos com os diferentes números.

 

 Se começarmos por utilizar os números divisíveis por 3 com dois algarismos, vamos conseguir um conjunto de números que depois de ligados de acordo com as somas obtidas obtemos uma série de percursos até atingirmos o mesmo número, que a partir daí se repete indefinidamente.

Vamos começar pelo menor número de dois algarismosdivisível por 3:

  

 

 

12     9      729      1080      513      153

21 …………………………………..  153

 

 

15   126    225    141    66    432   99   1458    702    351   153

51 ……………………………………………………………..  153 

 

18      513       153

81 …………...153

 

24      72       351       153

42 …………………... 153 

          

Parece ser evidente, neste momento, que todas as sequências vão terminar no número 153.

 

Façamos mais algumas somas, utilizando números maiores:

                 

99    1458    702    351     153

 

 

78    855     762    567     684     792    1080    513     153

87………………………………………………………... 153

 

60    216     225   141    66    432    99   1458    702   351   153

6……………………………………………………….............. 153

 

36     243      99      1458      702      351     153

63 …………………………………………..... 153

 

Podemos agora confirmar as observações que referimos anteriormente e que nos parecem interessantes:

  • Os percursos dos números até 153 não dependem da sua grandeza: o maior percurso que obtivemos foi o do 60 e simultaneamente do 6 com dez (10) passos, assim como do 15 e do 51. Já o 18 e o 81 precisaram apenas de dois (2) passos. 
  • As somas obtidas ora crescem ora decrescem de forma irregular e a maior soma obtida foi 1458 e embora os percursos maiores também tenham a soma maior, nem sempre isso acontece. O percurso de 99 tem 4 passos e a soma maior, mas o percurso de 87 tem 8 passos e a soma maior é 1080.
  • Se somarmos os dois números que têm o mesmo percurso (estão agrupados dois a dois) dão origem a uma capicua de algarismos iguais desde que a soma seja menor que 100:

             15 + 51 = 66

             26 + 62 = 88

            

Mas se somarmos 78 + 87 = 165 (não é capicua); mas podemos continuar:

 165 + 561 = 726

726 + 627 = 1353

1353 + 3531 = 4884 - já é capicua; mas foram precisas quatro somas.

 

Se calcularmos as somas de todos os números de dois algarismos, múltiplos de três, e tentarmos fazer um diagrama com os percursos todos, obtemos uma figura parecida com a que se segue: 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

 

 

Pode alargar-se a investigação e utilizar os números múltiplos de 3 menos 1.

Por exemplo: 3 x 12 – 1 = 35.

 

35 ----- 33+ 53 = 27 + 125 = 152

152 --- 13 + 53 + 23 = 1 + 125 + 8 = 134

134 --- 13 + 33 + 43 = 1 + 27 + 64 = 92

92 ----- 93+ 23 = 729 + 8 = 737

737 --- 73 + 33 + 73 = 343 + 27 + 343 = 713

713 --- 73 + 13 + 33 = 343 + 1 + 27 = 371

371 --- 33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1 = 371

 

A partir deste momento mais uma vez os números começam a repetir-se e vão dar sempre 371.

 

- Propomos mais uma vez que se utilizem os outros números de dois algarismos da forma 3N – 1 e analisar os resultados e tentar tirar conclusões. Será que a soma final é sempre 371?

 

Para terminar, experimentar com os números da forma 3N + 1.

Pode começar-se, por exemplo, pelo número 3 x 21 + 1 = 64. 

 

 

64 -----  63 + 43 = 216 + 64 = 280

280 ---  23 + 83 = 8 + 512 = 520

520 ---  53 + 23 = 125 + 8 = 133

133 --- 13 + 33 + 33 = 55

55 ----- 53 + 53 = 125 + 125 = 250

250 --- 23 + 53 =  8 + 125 = 133

 

Neste caso acaba-se num conjunto cíclico de números. Será que acontece com todos os números de dois algarismos da forma 3N+1?

 

- Sugere-se ainda uma outra investigação: começar com números maiores, por exemplo, de três algarismos, ou utilizar potências de grau superior a três.

 

(Desenvolvido a partir de Bolt, Brian – Mais Actividades Matemáticas)

palavras-chave: , ,
publicado por Frantuco às 16:06
link do artigo | comentar | favorito

.mais sobre mim

.pesquisar

 

.Abril 2011

Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
Sab
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

.artigos recentes

. Sequências de somas de cu...

.arquivos

. Abril 2011

. Fevereiro 2011

. Janeiro 2011

. Novembro 2010

. Junho 2010

. Março 2010

. Fevereiro 2010

. Janeiro 2010

. Dezembro 2009

. Novembro 2009

. Outubro 2009

. Agosto 2009

. Julho 2009

. Junho 2009

. Maio 2009

. Abril 2009

. Março 2009

. Fevereiro 2009

. Janeiro 2009

. Dezembro 2008

. Novembro 2008

. Outubro 2008

. Setembro 2008

.palavras-chave

. todas as tags

.links

.Contador

Expedia
Expedia Discount Travel