Segunda-feira, 5 de Janeiro de 2009

INVERSÕES

O texto que apresento a seguir confirma a importância da Matemática e a sua utilização em quase todas as áreas da vida.

 É, de certo modo, uma "história". Passou-se em 1973. Tinha regressado da guerra colonial, havia alguns meses. Decidi arranjar trabalho, o que consegui numa instituição bancária, que hoje já não existe, tendo sido integrada há mais de vinte anos noutra instituição do mesmo tipo.

Não sei se os bancos se organizam hoje da mesma forma e se as secções continuam a ter os mesmos nomes. Penso que, pelo menos, ainda devem existir as secções de "Depósitos" e a "Contabilidade".

Fui trabalhar para os "Depósitos", que, como o nome indica tinha a ver com tudo o que era depósito e levantamento de valores, em dinheiro, cheques e outros.

No final do dia era necessário proceder ao acerto dos valores movimentados nas diversas secções, nomeadamente Depósitos e Contabilidade. Por vezes os valores não coincidiam. As contas diárias não podiam (e penso que hoje também assim acontece) ser encerradas sem que todos os valores até ao último centavo batessem certos. Era necessário, por vezes, ficar depois do fecho para descobrir as diferenças. Tínhamos algumas técnicas que envolviam conhecimentos matemáticos.

Há 35 anos, os computadores não tinham a capacidade e velocidade dos actuais e muito menos o tamanho: eram enormes, ocupavam um salão com algumas dezenas de metros quadrados e funcionavam fazendo a leitura de fitas perfuradas, onde estavam registados os montantes e outros aspectos dos cheques que entravam nas secções referidas.

Eram as máquinas certificadoras que existiam nestas secções que perfuravam as fitas que os computadores liam e que no final do dia davam os montantes a ser conferidos e que às vezes não batiam certo.

Era aqui que a Matemática entrava em acção.

Cabia aos "certificadores" encontrar o documento ou documentos onde se encontravam os erros. A resposta, muitas vezes, estava na própria diferença:

  • Se a diferença fosse um valor menor que 100 escudos (foi em 1973) e múltiplo de 9 era, com elevada probabilidade de certeza, uma inversão (troca) entre os algarismos das dezenas e unidades. Imaginemos um cheque de 53927 escudos que foi "certificado" como 53972 escudos. Há aqui uma inversão, para mais, de 45 escudos. Mas não se sabia onde estava. Como descobrir o documento? Fácil. Encontrar todos os cheques cuja diferença entre os algarismos das dezenas e unidades é 5. Isto é: 7 - 2 ou 6 - 1 ou 8 - 3 ou 9 - 4 e 5 x 9 = 45. Também sabíamos se o algarismo das unidades era maior ou menor que o das dezenas. Bastava que a diferença dos valores fosse para mais ou para menos. Normalmente ao fim de meia dúzia de minutos tínhamos encontrado o documento errado. O processo é bastante fácil. Vejamos outro caso.
  • Imaginemos que a diferença era de 72 escudos, para menos. Qual o raciocínio a fazer? A diferença entre os algarismos das dezenas e das unidades é 8, porque 8 x 9 = 72, múltiplo de 9 e o algarismo das dezenas é maior queo das unidades. Terão de ser 9 - 1 = 8 ou 8 - 0 = 8. O valor correcto do cheque poderia ser, por exemplo, 5491 escudos certificado como 5419, que como se vê a diferença é 5491 - 5419 = 72. Também poderia ser um cheque de 32 180 escudos certificado como um cheque de 32 108 escudos.
  • E, se a diferença fosse, por exemplo, para mais, de 2700 escudos, que como se vê é múltiplo de 9? Onde devíamos procurar a diferença? Se reflectirmos um pouco, concluiremos facilmente que a inversão se deu entre os algarismos dos milhares e das centenas (o algarismo das centenas é maior). Vejamos um exemplo que ilustra a situação:

              - cheque de 45 856 escudos certificado como 48 556;

              - a diferença 8 - 5 = 3 e 3 x 9 = 27;

              - 48 556 - 45 856 = 2 700.

 

UM PEQUENO DESAFIO: Se um cheque de 7 931 escudos fosse certificado como 7 391 escudos, qual a diferença e porquê?

  • Parece ser fácil descobrir a diferença entre dois números quando há inversões:

             - múltiplos de 9 menores que 100 quando se trocam os algarismos das dezenas e das unidades;

             - múltiplos de 9 maiores que 100 e menores que 1000 quando a inversão é entre os algarismos das centenas e das dezenas;

             - múltiplos de 9 maiores que 1000 e menores que 10 000 quando a inversão se dá entre as centenas e as unidades de milhar, e assim sucessivamente.

 

Não me lembro se alguma vez ocorreu um caso de duas inversões simultâneas, entre dezenas e unidades e também entre unidades de milhar e centenas, por exemplo. Qual a diferença? Como descobri-la?

Para encontrar a resposta, nada melhor do que um exemplo:

            - cheque de 18 342 escudos certificado como 13 824. Dupla inversão.

            - a diferença é 18 342 - 13 824 = 4518. Como explicá-la?

 

Talvez os leitores possam dar-nos uma ajuda. Não se esqueçam que são duas inversões e se consiga explicar se se fizer a análise em separado e depois juntar os resultados.  

 

  

Neste momento impõe-se uma nova interrogação - Que diferença se encontra, quando se dá uma inversão entre duas ordens não consecutivas? Pedimos aos leitores a colaboração dando como sugestão a certificação de um cheque de 73 520 escudos por um cheque de 23 570. Como se verifica, existe troca entre os algarismos das dezenas de milhar e das dezenas. Que explicação encontra o leitor?

 

Parece que hoje em dia já não é preciso andar à procura das inversões, mas a Matemática continua a ser fundamental, até para fazer as compras do dia a dia.

publicado por Frantuco às 23:28
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