GERAMAT

A pérola falsa

Frantuco — Sat, 02 Apr 2011 23:25:37 GMT

Este é um problema clássico que tem muitas versões, especialmente com moedas verdadeiras e falsas, umas mais leves, outras mais pesadas. Uma das versões com moedas foi-me contada por um aluno, de nome Luís, cuja imagem permanece na minha memória por razões que vou contar a seguir.

Não era um aluno brilhante a matemática. Tinha uma aptidão especial para a música e até a maneira como se apresentava dava a ideia de ser um “artista”, se existe uma forma específica para os “artistas” se vestirem e se comportarem.

Estou a vê-lo. Tinha 16 anos. Fisicamente bem constituído. Não muito alto, mediano, cara arredondada, sem ângulos, olhos claros, cujo tom azulado se via através dos óculos de aros redondos, lentes bastante grossas. Mas o que o distinguia era um sorriso permanente, bem disposto e um rabo de cavalo de um cabelo liso castanho, que ele usava apanhado pelas costas abaixo.

Este jovem, como já disse, tinha algumas dificuldades na matemática, embora tivesse uma boa capacidade de raciocínio que nem sempre usava da maneira mais eficaz. Habitualmente bem humorado, as suas respostas tinham sempre qualquer coisa que nos divertia e os colegas costumavam ouvi-lo com atenção. Embora fosse um bom conversador, um dia, de forma pouco habitual, pediu-me com muita seriedade se podia apresentar um problema para eu resolver. É evidente que fiquei satisfeito com a sua proposta e pedi-lhe para ler o problema a todo o grupo. Já não o tenho registado, mas ainda tenho o essencial na memória. E apresentou assim o problema:

- Num barco de passageiros que se dirigia para a América do Sul, no princípio do século XX, os passageiros, para passarem o tempo organizavam jogos e apresentavam problemas para resolver. Um dos passageiros, um homem alto e claramente bastante culto, colocou a seguinte questão:

“Tenho na minha posse 9 moedas de prata aparentemente todas iguais. No entanto, sei que uma delas, embora pareça exactamente igual às outras, é ligeiramente mais fina e pesa um pouco menos. Contudo, não se consegue distinguir à vista desarmada. Tenho, portanto, de as pesar. O que eu peço é que descubram qual é o menor número de pesagens que devo efectuar com uma balança de dois pratos para descobrir a moeda mais leve. Falta dizer que não é necessário utilizar pesos.”

Este foi o problema que o Luís me apresentou e é um primeiro desafio que eu deixo aos leitores. Posso acrescentar que este problema tem muitas versões e o número de pesagens necessárias para descobrir a moeda mais leve ou mais pesada depende do número total de moedas, mas não varia muitas vezes (curiosamente o número máximo de moedas que se podem pesar com 2, 3, 4,... pesagens é uma potência de base 3). Podem fazer experiências utilizando um número diferente de moedas: 5, 6, 7, 8, 9,…

Este problema voltou-me à memória porque um leitor enviou-me um desafio, que em vez de moedas envolve pérolas e temos de descobrir uma pérola falsa, que é menos pesada que as outras. O sr. José Martins deixou a seguinte missiva na resposta que me enviou sobre o problema do almoço dos três amigos. E diz o seguinte:

“- Agora é a minha vez de lhe colocar um problema. Se achar que tem interesse pode publicá-lo. Se não, esqueça.
- Então é assim: Tenho num cofre 8 pérolas todas iguais no feitio, no tamanho e na cor. 7 têm o mesmo peso e uma é um bocadinho mais leve. Utilizando uma balança e com duas pesagens apenas quero saber qual é a mais leve. Como devo proceder.”

Aqui deixo este desafio para os leitores e fico à espera das vossas respostas, soluções, comentários, críticas e sugestões.

Fazendo humor com a Matemática

Frantuco — Tue, 22 Feb 2011 00:57:08 GMT

A história que vou contar é baseada num sketch que gira à volta de números e é de uma dupla famosa de actores cómicos de seu nome Bud Abbott e Lou Costello. Recentemente, num programa de uma televisão brasileira, apareceu o mesmo assunto tratado de uma forma diferente e com alguns acrescentos em relação ao primeiro.
O conteúdo matemático da história terá interesse se for integrado no relato da história do evento que lhe deu origem. E o que se passou foi o seguinte:

Sete amigos têm desde longa data o hábito de jogarem semanalmente no totoloto, para o qual contribuem com uma quantia fixa desde há muito tempo. Contudo, nos últimos tempos, o dinheiro do prémio foi-se acumulando porque durante várias semanas não houve totalistas. Então, o que fez o Abel, que era o encarregado de preencher os boletins do concurso? Decidiu preencher vários boletins que levaram a um aumento do custo total e apresentou a conta aos amigos quando se juntaram para confraternizar, como faziam na tarde de todas as quintas-feiras.
O Abel que gosta de brincar e pregar partidas apresentou a conta aos amigos dizendo:
- cada um de vocês tem de pagar 13 euros.
O Artur, que estava à sua direita, arregalou os olhos e perguntou:
- quanto pagaste pelos boletins?
- 28 euros – disse o Abel.
Imediatamente saltou do lugar o Ângelo e exclamou:
- então é impossível cada um de nós pagar 13 euros. 28 euros a dividir por 7 dá 4 euros.
No entanto, o Abel agarrou numa folha de papel e numa caneta, escreveu

e foi explicando: o 2 não se pode dividir por 7, mas o 8 a dividir por 7 dá 1
e 1 x 7 = 7 e para 8 vai 1 e a seguir baixa-se o 2, ficando 21 a dividir por 7 que dá 3 e o resto é zero (0).
E como todos vêem 28 : 7 = 13.
Mas, pelo seu lado, o Armando não ficou nada convencido e pediu ao Abel para tirar a prova dos noves (9), para verificar se a conta estava certa.
O Abel não se fez rogado. Ele até gostava de trabalhar com números e conhecia uma quantidade enorme de truques. Fez uma cruz para tirar a prova dos noves e começou: no divisor 7; no quociente 13 e dá 1 + 3 = 4; 4 x 7 = 28 e 2 + 8 = 10, noves fora 1; no dividendo 28 e então 2 + 8 = 10, noves fora 1.

E então o Abel exclamou vitorioso:
- como vêem a prova dos noves está certa e portanto cada um tem de pagar 13 euros.
Mas o Antero não se deu por achado e reclamou:
- isso não pode ser. A prova dos noves às vezes falha. O melhor é fazeres a prova real.
Mais uma vez o Abel cheio de boa vontade, porque também estava a divertir-se, iniciou o processo da prova real, dizendo:
- como é uma divisão exacta a prova real faz-se multiplicando o divisor pelo quociente e tem de dar o dividendo. Logo é:
7 x 13 = 28 e com a conta em pé, o Abel fez 7 x 3 = 21 e escreveu 21 debaixo do traço e 7 x 1 = 7 e escreveu 7 debaixo do 21 e em seguida somou tudo que dá 28, como se vê a seguir:

- Depois disto espero que estejam todos convencidos. Com a prova dos nove e agora a prova real está provado que 28 : 7 = 13.
Mas há sempre uma ovelha ronhosa e o André disse imediatamente:
- Nem penses. Ainda falta uma maneira para se provar se o resultado está certo. Como nós somos 7 pode-se fazer uma adição com sete parcelas todas iguais a 13. Se der 28, eu pago a minha parte.
O Abel agarrou mais uma vez no papel e na caneta e escreveu sete vezes o número 13 numa coluna como a que se segue:

- Somando 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 dá 21 e a seguir 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 dá 7 e colocando um debaixo do outro e somando novamente 21 + 7 obtemos 28, que é o resultado que se tem obtido desde a primeira operação - disse finalmente o Abel. Espero que estejam finalmente convencidos da minha razão e cada um de vocês me deve 13 euros.

Só que um dos amigos que ainda não se tinha pronunciado e de seu nome Alex começou a rir-se e disse perante o espanto de todos os outros amigos:
- vocês são uns papalvos, ele tem estado a divertir-se à nossa custa. Qualquer pessoa sabe que 28 a dividir por 7 não dá 13.

E agora pergunto eu:

- Está o leitor de acordo com o Abel que fez as várias operações tentando demonstrar a sua teoria? Ou está de acordo com o Alex que diz que o Abel se esteve a divertir pregando uma enorme partida aos amigos? Seja qual for a sua opinião era importante que a explicasse.

E já agora proponho um desafio:

- veja se consegue descobrir um quociente que com as mesmas operações confirme o resultado de 25 por 5.

Fico à espera das vossas respostas, comentários, sugestões e críticas.

O Problema de Monty Hall

Frantuco — Wed, 19 Jan 2011 19:29:12 GMT

Duas notas prévias antes de apresentar o problema:

Nota 1 – A primeira vez que li sobre este problema foi num livro intitulado “O Homem Que Só Gostava De Números”, de Paul Hoffman e editado pela Gradiva em 2000.

Nota 2 – Quem é ou quem foi Monty Hall? Foi apresentador de um concurso numa televisão americana na década de 60 do século passado em que os concorrentes tentavam ganhar um carro e que acabou por se tornar famoso pela discussão que se gerou em volta dele três décadas mais tarde.

Tal como disse atrás a primeira vez que li sobre este problema foi no livro já referido. Depois disso, tenho procurado informar-me sobre a opinião das pessoas acerca do problema. Devo dizer que o paradoxo (também é conhecido como paradoxo de Monty Hall) foi objecto de discussão acalorada numa revista americana na década de 90 do século passado, tal como é dito atrás, e que alguns matemáticos se enganaram na sua resolução, mas corrigiram depois de análise mais aprofundada.

Impõe-se uma pergunta: Como é que um concurso televisivo envolve matemática que leva cientistas da área a interessarem-se por ele e a darem a sua opinião sobre as escolhas dos concorrentes e a maneira mais eficaz de ganhar?

Para entender bem a questão vamos apresentar a maneira como se desenrolava o concurso. Vejamos:

- Monty Hall, o apresentador, mostrava, num palco, três portas – A, B e C. Numa destas portas está o desenho de um carro. Nas outras duas estão os desenhos de dois bodes, um em cada uma. A palavra bode parece estar, neste caso, associada ao significado que tem, por exemplo, para um caçador: apanhar um bode. Para um caçador apanhar um bode é regressar a casa sem nenhuma peça de caça depois de um dia a andar de um lado para o outro. No caso deste concurso, ganhar um bode era levar para casa o desenho de uma cabra, tal como é apresentado.

- O concorrente tinha de escolher uma das portas – A, B ou C. Depois de escolhida a porta pelo concorrente, o apresentador abria uma das outras, onde ele sabia que se encontrava o desenho de um dos bodes. A situação ficava como se apresenta a seguir no desenho. É claro que a porta que o apresentador abria dependia efectivamente da escolha do concorrente. Estamos a supor, neste caso, que o concorrente escolhia a porta A ou a porta B. É indiferente.

- O concorrente ficava com duas portas fechadas: a que ele escolheu inicialmente e a que o apresentador deixou fechada depois de abrir uma que tinha um bode.

- O que é que se passava a seguir? Esta parte é fundamental já que o apresentador perguntava ao concorrente o que queria decidir:

permanecer com a porta que escolheu no início do jogo e abri-la ou mudar para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir.

Em termos práticos seria assim:

- Imaginemos que o concorrente escolhia inicialmente a porta A. O apresentador abria a porta C, onde sabia que se encontrava um bode. Logo a seguir perguntava ao concorrente se pretendia continuar com a porta inicial (neste caso a A) e abria-a, ganhando o prémio que lá estava: carro ou bode; mas também podia mudar de opinião e mudar para a porta B e abri-la ganhando o prémio que lá se encontrava: carro ou bode.

É aqui que a questão se resolve. É aqui que o concorrente tem de tomar a decisão que seja mais vantajosa para ele. É aqui que eu pergunto também aos leitores:

Qual é a estratégia mais lógica? O que é que convém mais ao concorrente? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Ou será que é indiferente a escolha da porta para aumentar a probabilidade de ganhar? Porquê?

Aqui deixo para vós este conjunto de perguntas que é o desafio que vos proponho e fico à espera dos vossos comentários, respostas, sugestões e críticas.

CABECINHAS PENSADORAS…. façam as contas…

Frantuco — Sun, 28 Nov 2010 23:48:55 GMT

Recentemente um dos meus amigos enviou-me uma mensagem relembrando um problema bastante interessante e muito fácil. É um problema clássico e como todos os problemas exige um pouco de raciocínio.

Passa-se num restaurante e envolve três amigos que se juntam semanalmente para almoçar. Curiosamente, estes almoços têm levado os amigos a visitar algumas das freguesias deste concelho e até de outros concelhos. O autor deste texto também faz parte do grupo e têm descoberto nas aldeias deste Portugal profundo e esquecido uma realidade impressionante: as nossas aldeias estão cada vez mais desertas. A maior parte dos habitantes são pessoas idosas. Muitas das casas estão fechadas e a degradar-se.

Por outro lado, temos encontrado um povo hospitaleiro, sempre pronto a dar uma informação e também cheio de curiosidade pelos estranhos que passam. Em todo o lado vemos pessoas idosas sentadas nas soleiras das portas ou nos batoréis, espreitando o sol, ou simplesmente esperando que o tempo passe. Também nos apercebemos que existe todo um património antigo, como janelas, grades de varanda, instrumentos de lavoura, moinhos, casas antigas, portas, que vão perder-se e nem a sua memória fica se não se fizer algum esforço na sua recuperação e não houver empenhamento na sua preservação. Mais uma vez aqui a minha costela de origem aldeã a apelar à necessidade da memória que preserva a identidade das nossas aldeias e do nosso povo.

A situação de que o problema trata passou-se num restaurante de uma aldeia a cerca de 14 Km de Castelo Branco, onde os comensais se têm deslocado algumas vezes e onde irão certamente durante muito tempo. A simpatia de quem nos atende, uma bela moça, e a qualidade das iguarias faz com que a deslocação seja sempre um prazer.

Mas aí vai o que se passou numa das últimas comezainas. Embora, como eu já disse também faça parte do grupo, vou fazer a descrição do “evento” na terceira pessoa:

O Francisco, o Carlos e o Manuel foram a um restaurante, onde comeram e beberam até “fartar” (à boa maneira portuguesa) e no final a conta deu 30,00€.

Fizeram o seguinte: cada um deu dez euros...

Francisco:    10,00€
Carlos:        10,00€
Manuel:       10,00€

A empregada levou o dinheiro ao dono do restaurante que disse o seguinte:
- Esses três são clientes antigos do restaurante e, por isso, vou fazer-lhes um desconto. Devolva-lhes 5,00€!

E entregou à empregada cinco moedas de 1,00€.

A empregada, moça esperta, viu logo o caldinho. Não era possível dividir igualmente os cinco euros pelos amigos.
Assim, cheia de iniciativa, fez o seguinte: meteu ao bolso 2,00 € e deu 1,00€ a cada um de nós.

No final, a situação ficou assim:

Francisco: 1 0,00€ - 1,00€ que foi devolvido. Logo, gastou 9,00€.
Carlos: 10,00€ - 1,00€ que foi devolvido. Gastou também 9,00€.
Manuel:10,00€ - 1,00€ que foi devolvido. Gastou igualmente 9,00€.

Logo, se cada um de nós gastou 9,00€, o que os três gastamos juntos foi 27,00€.
E se a empregada meteu ao bolso 2,00€, temos:

Nós…………... 27,00€
Empregada… 2,00€
TOTAL…….... 29,00€.

Agora pergunto eu:

- Onde foi parar o outro 1,00€? Como se lembram nós demos 30,00€, 10,00€ cada um.

Aqui deixo este interessante exercício de raciocínio para vós, ficando mais uma vez à espera dos vossos comentários, sugestões e críticas.

Regressamos sempre às raízes - perguntas de algibeira

Frantuco — Fri, 18 Jun 2010 09:54:27 GMT

Já passei por muitos sítios, aldeias, vilas e cidades. Em todos os

lugares vivi experiências, umas mais interessantes e outros menos,

como é normal acontecer a qualquer pessoa. Algumas deixaram

marcas que perduraram ao longo dos tempos. Outras desapareceram

no esquecimento normal da sua pouca importância e substituídas

por outras, cuja marca se tornou indelével.

Curiosamente ou não, as pessoas, os factos, as experiências que

vêm sempre à superfície, reflectidas no horizonte da memória,

regressam lá de longe da infância e juventude e estão ligadas,

a maior parte das vezes, à vida na vila. São momentos de pura

felicidade.

Esse tempo vai longe. Já passaram algumas décadas, mas

quando pomos a memória a recuar, uns factos chamam outros

e ficamos com um conjunto de elementos que fazem a nossa

história pessoal. Somos dos que pensamos que as pessoas,

assim como os países, são mais felizes e têm seguramente um

futuro mais longínquo se tiverem um passado rico de factos, de

acontecimentos, se tiverem história.

Passemos aos factos.

As ruas não tinham luz eléctrica. As noites eram escuras e

as sombras das árvores que o vento sacudia e, por vezes,

animais soltos, provocavam num adolescente momentos de

angústia, de medo das almas penadas que vinham lembrar-lhe

que a hora era tardia para andar na rua. E lá vinham à lembrança

as histórias do lobisomem, que nas noites de sexta-feira vagueava

pelas ruas na forma de cavalo ou de burro, exactamente a sombra

escura que está ao fundo da rua por onde vamos passar. E lá nos

encostamos à parede para passarmos despercebidos. Ao ouvirmos

sacudir as orelhas ou algum som semelhante ao soprar é que

descobrimos o burro e suspiramos de alívio. Afinal de contas

o lobisomem ou o vampiro não saiu naquela noite.

Apesar de não terem luz, as ruas eram o local privilegiado

dos jogos da infância. Era nas férias de inverno que, apesar

do frio e aproveitando o luar que iluminava os largos que serviam

de “palco” ao jogo, nos encontrávamos para um combate de fintas,

de gritos, discussões, vitórias e derrotas. A maior parte das vezes

era um jogo que durava horas e a que nós chamávamos a

“Barra-bandeira”. Penso que hoje não é conhecido e nunca mais

ouvi falar ou li alguma coisa acerca dele. Talvez algum dia, se tiver

tempo e pachorra escreva acerca das suas regras e de outros

jogos que eram únicos.

Lobisomens e jogos, que mistura!

Os meus amigos e companheiros de jogo (alguns deles infelizmente

já não estão presentes) também gostavam de charadas e perguntas

que mostravam que existia uma cultura própria ligada à vida da aldeia

e de todos os dias. Era vulgar fazerem perguntas, aparentemente

simples, mas que exigiam um raciocínio apurado, escondendo, por

vezes, alguma “armadilha”.

Tentem responder de forma correcta às perguntas:

Por vezes, para terminar uma discussão acalorada, alguém dizia,

com uma oralidade intencional:

-Tu que sabes tanto, responde lá: Quem de vinte cinco tira

quantos ficam?

Mas também apareciam as perguntas que exigiam reflexão

antes de responder, como:

- O que pesa mais, 1 kg de penas ou 1 kg de chumbo?

E esta, que além da reflexão exige do respondente algum sentido de humor:

- Qual a quantidade de terra que existe num buraco com

3,2 m de comprimento, 1,8m de largura e 2,4 m de profundidade?

E para terminar, uma pergunta que muitos dos leitores já devem

conhecer, mas que não deixa de ser interessante:

- Num fio dos telefones estava um bando de pardais constituído

por 12 pássaros.

O meu tio que é caçador e gosta de comer uns passarinhos

fritos pegou na espingarda e matou 5. Quanto pardais

ficaram no fio?

Eram estes os desafios e outros parecidos com estes que os meus

companheiros gostavam de utilizar para desafiar os outros elementos

do grupo, muitas vezes numa competição que apenas tinha como

objectivo tentar mostrar conhecimentos e capacidade de raciocínio.

Aqui os deixamos para vós, ficando mais uma vez à espera dos

vossos comentários, sugestões e críticas.

Os bilhetes de metro

Frantuco — Tue, 01 Jun 2010 22:06:58 GMT

No passado dia 29 de Maio participei na manifestação nacional de trabalhadores organizada pela CGTP-IN, em Lisboa.

No final da manifestação dirigi-me com mais dois amigos à Casa do Alentejo, ali perto, para nos dessedentarmos. Com tanta felicidade o fizemos que acabámos por assistir à apresentação de um coro de trabalhadores alentejanos e um dos responsáveis da Casa, perante o nosso interesse, serviu-nos de cicerone e acabou por nos acompanhar numa breve visita às instalações, dando explicações de carácter histórico sobre o palácio e a própria Casa do Alentejo que funciona naquelas instalações desde 1933. Podemos afirmar que pela qualidade das instalações, pelas actividades desenvolvidas e pelo que representa para o povo alentejano merece aquela Casa ser frequentada e apreciada.

Na continuação da nossa história, decidimos ir para o local onde se encontrava o nosso autocarro que nos transportaria para Castelo Branco. Ao fazermos a sua localização na cidade de Lisboa, verificámos que era bastante distante, pelo que decidimos ir de metro para o Cais do Sodré. Ao chegarmos à estação do Rossio, aproximámo-nos da uma das máquinas para obtermos os bilhetes de acesso ao comboio. É claro que tivemos alguma hesitação, não sendo para nós habitual o uso deste tipo de transporte. No entanto, perante alguma surpresa nossa, quer pela rapidez com que aconteceu, quer pela simpatia com que foi feita, quer pela eficácia, um trabalhador do metro dirigiu-se a nós perguntando se precisávamos de ajuda. É claro que afirmámos que “sim”.
Mantivemos com ele um diálogo, acerca da estação para onde queríamos viajar, e como proceder para obtermos os bilhetes necessários, que deviam ser acompanhados sempre de um cartão de acesso.
Curiosamente, perante a pergunta se algum de nós não teria cartões de acesso obtidos anteriormente, acabei por verificar que tinha três cartões que já estavam caducados e não podiam ser utilizados.

Para efectuar a viagem, era necessário adquirir, por isso, além dos cartões de acesso, o bilhete respectivo para cada um de nós. Perante a experiência negativa de ter gasto dinheiro em cartões que foram utilizados apenas uma vez, perguntei se não era possível recuperar o dinheiro dos cartões no fim da viagem.
O trabalhador que nos apoiou informou-nos que no final da viagem poderíamos dirigir-nos à bilheteira com os cartões e recibos onde nos seria devolvido o valor correspondente a cada um dos cartões. Fomos ainda informados que a cada cartão correspondia um recibo e só mediante a entrega dos dois se podia recuperar o valor do cartão.

Acabámos por adquirir três cartões de acesso e três recibos correspondentes aos três bilhetes, pagos conjuntamente.
Cada um de nós guardou um par, constituído por cartão e recibo, sem termos verificado se havia correspondência.
Entrámos no comboio, fizémos a viagem e chegados à estação de destino (Cais do Sodré) dirigimo-nos à bilheteira para recuperar o valor dos cartões.
Curiosamente ou não, ao entregarmos os cartões e recibos verificámos que havia correspondência nos três casos. A probabilidade de não haver correspondência era bastante maior do que o caso contrário. Esta situação levou-nos a estudar o caso e chegámos às seguintes conclusões:

SITUAÇÕES FAVORÁVEIS

P	R	V	Solução
A,1	B,2	C,3	1
A,1	C,3	B,2	2
B,2	A,1	C,3	3
B,2	C,3	A,1	4
C,3	A,1	B,2	5
C,3	B,2	A,1	6

Como se verifica são 6 (seis) soluções, que respeitam as condições: correspondência entre os cartões e os recibos que poderiam ser recebidos por qualquer dos viajantes.

As letras e números utilizados têm a seguinte legenda:

- Os cartões estão identificados pelas letras A, B e C.
- Os recibos estão identificados pelos números 1, 2 e 3.
- Aos cartões A, B e C correspondem respectivamente os recibos 1, 2 e 3, fazendo os pares (A,1), (B,2) e (C,3).
- As letras P, R e V correspondem aos nomes dos nossos viajantes (Paco, Rui e Vitor).

Os desafios que propomos são os seguintes:

1 – Determinar todas as outras hipóteses em que não há correspondência entre todos os cartões e todos os recibos.
2 – Determinar quais as hipóteses válidas e as não válidas para o caso de haver 4 (quatro) viajantes e tentar encontrar o possível algoritmo para qualquer número de viajantes.

Ficamos à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.

Sempre os problemas

Frantuco — Sun, 14 Mar 2010 17:39:32 GMT

A resolução de problemas exige a quem pretende praticá-la a realização de um conjunto de tarefas numa determinada sequência que o leva ao resultado.

Os novos programas de Matemática do Ensino Básico propõem “A Resolução de Problemas” como uma das competências transversais a desenvolver por todos os alunos.

Desde os meus tempos de estudante tive sempre uma predilecção por todo o tipo de problemas e a respectiva resolução, porque fazer Matemática exige RESOLVER PROBLEMAS que leva seguramente ao desenvolvimento da capacidade de raciocinar, que é fundamental em todos os aspectos da vida.

Não é segredo nenhum que desde os mais remotos tempos da humanidade, desde que o Homem começou a ter necessidade de resolver problemas , situações do dia a dia, utilizou e desenvolveu a Matemática nesse sentido. No entanto, não havia um método específico de resolver problemas que o ajudasse a encontrar a solução ideal para o que o preocupava.

Em 1944 foi impresso pela primeira vez na Universidade de Stanford um livro de um matemático chamado George Polya cujo título original é “How to solve it – A New Aspect of Mathematical Method” que diz no primeiro parágrafo do seu prefácio “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema”.

Este livro foi publicado em Portugal por Gradiva – Publicações, Lda. com o título de “Como resolver problemas”, em 2003. Logo nas primeiras páginas, especificamente na página 16, apresenta um modelo de resolução de problemas, o que julgo ser a primeira vez que é feito de forma sistematizada. O modelo proposto pelo sr. Polya diz o seguinte (sintetizado):

COMO RESOLVER UM PROBLEMA

Primeiro – COMPREENSÃO DO PROBLEMA

- É evidente que esta etapa exige a leitura atenta do problema, a recolha de dados, e outros aspectos como as incógnitas, o que se pretende calcular,….

Segundo - ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

- Um bom plano, que considere todos os aspectos do problema facilitará a procura da solução. Não esquecer que pode haver mais do que um caminho para resolver determinado problema.

Terceiro – EXECUÇÃO DO PLANO

- Convém executar o plano acompanhando todos os seus passos e verificar se estão correctos.

Quarto – VERIFICAÇÃO

- Verificar o resultado. Como? Vendo se há congruência entre os dados do problema e o resultado final. Mas, verificar também se é possível haver outros métodos de resolução.

É evidente que para conhecermos com profundidade o pensamento do sr. Polya o melhor é ler o seu livro.
Mas, a melhor forma de aprender a resolver problemas é resolvendo muitos. Haverá sempre uns mais fáceis e outros mais difíceis. Encontraremos sempre algumas dificuldades, mas com a persistência chegaremos sempre ao resultado. O importante é não desistir.

E agora é a altura de apresentar um desafio. Um problema. Conheço várias versões deste problema e também mais do que um método de resolução. A versão que vou apresentar permite resolvê-lo utilizando o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos.

Vejamos então o problema:

No tempo em que os namorados tinham de ter algum engenho para se encontrarem com as suas amadas, encontraram-se, numa mesma rua, dois jovens, cada um com sua escada, que tentavam utilizar para chegar à janela do seu amor. As janelas referidas ficavam em frente uma da outra, mas a alturas diferentes. Uma das janelas é representada no esquema pelo ponto A e a outra pelo ponto C. Uma das escadas tem de comprimento 10 metros e a outra 8 metros e cruzam-se a 4 metros do solo.

O esquema que se segue ilustra a situação:

O que se pretende é saber a altura de cada uma das janelas que os nossos enamorados tinham de atingir para beijarem os seus amores.

Fico à espera das vossas sugestões, soluções ou críticas.

O regresso à memória novamente - Algoritmos - A multiplicação russa

Frantuco — Mon, 08 Mar 2010 11:59:57 GMT

Quando recuo no tempo e entro nas recordações da infância trago à memória figuras humanas que deixaram impressões que me acompanharam ao longo da minha existência.

A maior parte delas já não pertence ao número dos vivos. Algumas passaram pela vida e não construíram nada que perdurasse no tempo. Outros, pelo contrário, foram figuras cuja presença nunca foi indiferente aos que conviveram com eles.

A figura de que vou falar era um grande contador de histórias e essencialmente um criador de episódios biográficos inventados, mas de tal maneira convincentes que quem o ouvia era incapaz de duvidar da sua veracidade.
Eram famosos os episódios da sua vida no Brasil, onde nunca tinha estado, e que contava aos forasteiros que paravam na taberna onde passava as tardes depois de dormir a sesta, que fazia todo o ano. Os conterrâneos presentes e que já conheciam as histórias ouvidas noutras ocasiões tinham alguma dificuldade em conter o riso perante os pormenores da falsa autobiografia. É claro que o forasteiro não se manifestava, mas tudo indicava que “engolia” as patranhas pelas perguntas que de vez em quando fazia, o que animava ainda mais o ambiente. A gargalhada geral explodia no fim, depois da saída da “vítima”. As mentiras eram completamente inócuas e as histórias acabavam por preencher o tempo de forma agradável e não provocavam danos ou faziam mal a alguém.

Ainda estou a vê-lo, alto, bastante alto, magro, de bigode aparado, quase sempre sentado num batorel (assento de pedra) junto de uma porta, na estrada que atravessa a freguesia, com as pernas dobradas de tal maneira que um dos pés passava por trás da outra perna e para ser tirado era preciso levantar-se.
Foi caçador quase até ao fim da vida, só parando quando o reumatismo o impediu de se deslocar e lhe provocava dores de que se queixava.
Embora sem formação académica tinha conhecimentos de várias áreas, como geografia, história e também tinha alguns conhecimentos de matemática, apresentando, por vezes alguns problemas interessantes. Lembro-me de lhe ter ouvido falar que os camponeses russos no século XIX faziam a multiplicação utilizando uma maneira diferente da nossa. Só mais tarde descobri o famoso algoritmo que é deveras interessante e onde as potências de base dois mais uma vez têm o seu protagonismo.

Vejamos como os camponeses calculavam os produtos de que necessitavam no seu dia a dia. Imaginemos que um camponês vendeu 27 animais a 42 rublos cada um. Quanto realizou na venda?

Se fosse hoje utilizávamos uma máquina de calcular e obtínhamos o resultado imediatamente.

Se fosse nas décadas de 50 e 60 do século passado utilizávamos o algoritmo tradicional e demorávamos mais algum tempo, mas obtínhamos o resultado.

No entanto, os camponeses russos do século XIX faziam outras contas. Vejamos:
- Colocavam os números assim:

- O número 27 era dividido por 2 ignorando o resto e o 42 era duplicado.
- Continuando a dividir o número do lado esquerdo até obtermos 1 e a duplicar os números do lado direito.

Agora impõe-se uma pergunta: como é que chegamos ao resultado? Onde entram as potências de base dois?

O resultado obtém-se somando os números do lado direito que correspondem no lado esquerdo a números ímpares. Vejamos:

27 x 42 = 42 + 84 + 336 + 672 = 1 134

Utilizando uma calculadora rapidamente verificamos o resultado.

Temos de responder à segunda pergunta: “Onde entram as potências de base dois?”

- na coluna da esquerda, quando dividimos sucessivamente por dois(2) estamos a escrever o número 27 na base dois (2) ou seja:

27 ≡ 11011₍₂₎, ou seja se dividirmos 27 e os quocientes obtidos sucessivamente por 2 até obtermos quociente 1 teremos 27 na base 2:

Tal como os números na base 10, também é possível decompor nas suas ordens os números escritos em qualquer base. Assim:

11011₍₂₎= 1x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰ ou

11011₍₂₎ = 2⁴ + 2³+ 2¹ + 1

Se efectuarmos as operações obteremos 27 que é o número original na base 10.

Do lado direito, o número 42 foi duplicado e seguidamente foram sendo feitas duplicações, o que corresponde a multiplicar o número 42 sucessivamente por 2, 2², 2³, 2⁴.
Com um pequeno raciocínio chegamos à seguinte conclusão:

27 x 42 = (2⁴ + 2³ + 2¹ + 1) x 42 ou

27 x 42 = 2⁴ x 42 + 2³ x 42 + 2¹ x 42 + 1 x 42 ou

27 x 42 = 16 x 42 + 8 x 42 + 2 x 42 + 1 x 42 ou

27 x 42 = 672 + 336 + 84 + 42 – os números da segunda coluna correspondentes aos números ímpares da primeira coluna, apresentados na ordem inversa, tendo em atenção as potências de base dois que foram crescendo.

27 x 42 = 1134 , tal como tínhamos concluido no início.

Agora para terminar um pequeno desafio:

Aplicando o algoritmo dos camponeses russos tente calcular:

23 x 57=
e
31 x 46 =

Grandes Matemáticos - Thales de Mileto

Frantuco — Mon, 01 Feb 2010 16:24:41 GMT

Thales de Mileto

Foi um matemático grego nascido em Mileto (640 a.c – 550 a.c). Tal como outros cientistas da época viajou pela bacia do Mediterrâneo e esteve no Egipto onde estudou Astronomia e Geometria.
Os conhecimentos adquiridos em Astronomia permitiram-lhe prever um eclipse do sol que o tornou famoso.
Em Geometria, deixou algumas proposições importantes que apresentaremos mais à frente e conta-se que, estando no Egipto, onde a sua fama de grande geómetra chegou aos ouvidos do faraó, este mandou um emissário junto dele para que calculasse a altura da grande pirâmide de Kéops.
O que fez Thales? Espetou uma vara no chão, ao sol, e esperou que a sombra da vara fosse igual à sua altura. Ao emissário do faraó disse: - mede depressa a sombra da pirâmide e terás a sua altura.
É evidente que como a pirâmide é inclinada, a sombra feita não é igual à altura. No entanto, se adicionasse à sombra obtida metade da medida do lado da base teria a altura da pirâmide. Um desenho da pirâmide mostra claramente isso. Vejamos:

Além desta lenda que mostra o interesse de Thales pela geometria fez várias descobertas relativas às paralelas, aos triângulos e ao círculo.

A lenda da determinação da altura da pirâmide tem a ver com a semelhança de triângulos. Dois triângulos são semelhantes se tiverem dois ângulos iguais. Em triângulos semelhantes os ângulos são iguais e os lados são proporcionais.

A figura que se segue pretende ilustrar a relação entre os triângulos que representam a altura da pirâmide e a altura da vara.

Neste caso, os ângulos de vértices em A e A’ e B e B’ têm a mesma amplitude e

altura da pirâmide/altura da vara = sombra da pirâmide/sombra da vara,

sendo possível determinar neste caso a altura da pirâmide considerando que a razão entre as alturas da pirâmide e da vara é igual à razão entre as respectivas sombras, seja qual for a altura do dia em que são medidas.

Agora um pequeno desafio:

Na altura em que viveu Thales de Mileto a pirâmide de Kéops tinha uma certa altura que hoje é diferente pelo desgaste sofrido. A altura da vara utilizada pelo mensageiro do faraó era 1,70 m e a sombra projectada era 0,425 m. Sabendo que a sombra da pirâmide era de 36,5 m é fácil descobrir a altura da pirâmide que é o que vos peço. É só pensar um pouco.

Relativo ao círculo descobriu que um ângulo inscrito num semi-círculo é recto. A partir daqui pode verificar-se que se se marcarem dois pontos fixos numa circunferência A e B e deslocarmos o vértice V para qualquer posição no arco maior definido pelos pontos A e B, o ângulo AVB terá sempre a mesma amplitude. A figura a seguir ilustra esta situação.

Nos meus tempos de escola havia um teorema que tinha o nome de Thales que dizia o seguinte:

“Duas ou mais rectas paralelas cortadas por duas secantes determinam entre si segmentos de recta proporcionais”.

Vejamos a situação:

É fácil de verificar que as relações entre segmentos de recta AC/BD = CE/DF ou AE/BF = AB/EF ou outras relações são verdadeiras. Sendo assim é fácil determinar o comprimento de qualquer segmento resolvendo a proporção.

Sendo as medidas dos comprimentos de [AC], [BD] e [CE], respectivamente 5 cm, 4 cm e 7 cm, determinar a medida do comprimento de [DF].

Também podem calcular, a partir dos dados anteriores, as medidas dos comprimentos de todos os segmentos de recta que conseguirem identificar na figura das paralelas.

Fico à espera das vossas sugestões, comentários e soluções.

O Ano 2010 e as potências de base 10 – III

Frantuco — Sun, 24 Jan 2010 15:48:07 GMT

O Sistema Internacional de Unidades de que temos vindo a falar apresenta, além das unidades SI, os múltiplos a que já fizemos referência e os submúltiplos cujos prefixos apresentamos a seguir. É evidente que estes submúltiplos envolvem dimensões micro e vão até à dimensão da mais pequena e elementar partícula de matéria que desafia a nossa capacidade de imaginação.

Vejamos um exemplo:

- O que é um picómetro (pm)?

Para se escrever este número como submúltiplo do metro (m) temos de utilizar um número com 12 casas decimais, ou seja:

0,000 000 000 001 m

Deste modo podemos afirmar que um picómetro (pm) é uma unidade comprimento que é a milionésima parte do mícron, sendo que este é a milionésima parte do metro, que se escreve com 6 casas decimais, ou seja:

0, 000 001 m

Alguns dos submúltiplos são nossos conhecidos dos bancos da escola nos primeiros anos. Toda a gente aprendeu que o dm, o cm e mm são os submúltiplos do metro (m).

E o que são o nanómetro, fentómetro, atómetro, zeptómetro e yoctómetro?

Sabendo que um yoctómetro (ym) se escreve com 24 casas decimais, representa evidentemente uma dimensão tão pequena que nem com imaginação conseguimos idealizá-la. Mas podemos representá-la em número e utilizando potências de base 10:

0,000 000 000 000 000 000 000 001 = 10^-24

As dimensões são tão pequenas que podemos dizer que o núcleo da célula tem a dimensão de 1 mícron, ou seja:
10^-6 m

E se falarmos do “quark”, que pode ser considerado o limite da matéria. Neste caso estaremos a falar de dimensões ao nível de 10^-16m.

Agora um pequeno desafio:

Como se escrevem em números decimais e em potências de base 10 os submúltiplos do metro referidos anteriormente, sabendo que o yoctómetro (ym) é o menor e o picómetro (pm) é imediatamente a seguir ao nanómetro (nm), mas menor.

Parece claro que a utilização da chamada notação científica (utilização das potências de base 10) para a escrita de números muito grandes ou muito pequenos facilita essa mesma escrita e também a sua leitura. Assim vamos apresentar alguns casos e definindo uma forma prática para escrever esses números:

7 431 x 100 000 000 =

Um produto de números ou um só número transforma-se em notação científica sabendo que qualquer número inteiro é o produto de um número ≥1 e <10. Assim:

7 431 = 7,431 x 10³ , isto é, coloca-se a vírgula a seguir ao 7, de acordo com a regra definida, e a potência de base 10 tem expoente 3, neste caso, que são as casas decimais que colocámos no número.

7 431 x 100 000 000 = 7,431 x 10³ x 10⁸= 7,431 x 10¹¹

Como transformar este produto?

842,05 x 10 000

Neste caso será 842,05 = 8,4205 x 10²– a potência de base 10 tem expoente 2 uma vez que deslocámos a vírgula 2 casas decimais para a esquerda. Assim o número escrever-se-á:

842,05 x 10 000 = 8,4205 x 10²x 10⁴ = 8,4205 x 10⁶

E se utilizarmos números muito pequenos, com muitas casas decimais?
Como escrever 0,000 000 043 9 em notação científica?

Basta deslocar a vírgula para a direita e colocá-la a seguir ao 4 para cumprir a regra anterior e escrever a potência de 10 com expoente negativo e o número igual ao número de casas decimais que a vírgula foi deslocada. Isto é:

0,000 000 043 9 = 4,39 x 10^-8

Um pequeno desafio para terminar:

Escrever em notação científica os seguintes números:

Massa própria do electrão:
m_e = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg

Massa própria do protão:
m_p = 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 62 kg

O Ano de 2010 e as potências de base 10 - II

Frantuco — Sat, 16 Jan 2010 19:02:32 GMT

No artigo anterior falei do Sistema Internacional de Unidades e dos grandes números, números com muitos zeros, que podem ser escritos utilizando potências de base 10.

Muitos destes números têm a ver com distâncias astronómicas que os filmes de ficção científica divulgaram.

Já muitos de nós ouvimos falar em “parsecs”. O que é um parsec? Um parsec é uma unidade de distância que é usada em astronomia para medir distâncias entre as estrelas, planetas, galáxias,…

O parsec corresponde a 206 265 unidades astronómicas e a 3,26 anos-luz. Temos aqui mais duas unidades de distância.

A unidade astronómica (UA) é uma unidade de distância, aproximadamente igual à distância média entre a Terra e o Sol, que dará 149 597 870 km, aproximadamente 150 000 000 km ou 150 000 000 000 m.

Imaginemos agora que um astro (estrela ou planeta) se encontra a um ano-luz da Terra. A quantos km se encontra? E metros (m)?
Façamos os seguintes cálculos:
1 minuto ………………………………….................. 60 segundos
1 hora ………………………………… 60 x 60s = 3600 segundos
1 dia ……………………………… 24 x 3600s = 86400 segundos
1 ano ……………………. 365 x 86400s = 31 536 000 segundos

Sabendo a velocidade da luz que é aproximadamente 300 000 km/s (exactamente 299 792 458 km/s), um ano-luz é:

em km - 300 000 km x 31 536 000 = 9 460 800 000 000 km, ou
em metros (m) - 9 460 800 000 000 000 m

Utilizando a velocidade exacta da luz no vácuo obtemos os seguintes valores:

299 792, 458 km x 31 536 000 = 9 454 254 955 488 km
em m – 9 454 254 955 488 000 m

Determinemos agora a distância, em km e em metros (m) a que corresponde um parsec.
Um parsec (pc) utilizando os valores exactos será aproximadamente:
1 pc = 206 265 x 149 597 870 km
1 pc = 30 856 804 655 550 km
1 pc = 30 856 804 655 550 000 m

Fazer a leitura destes números torna-se bastante difícil pelo número de algarismos que têm. Há uma maneira bastante mais fácil de os escrever e consequentemente de os ler. Utilizar potências de base 10 e fazendo alguns arredondamentos:

1 U.A = 149 597 870 km ≈ 149 600 000 km ≈ 1, 496 x 10⁸ km
E se trabalharmos com metros (m)?

1 ano-luz (a.l) = 9 454 254 955 488 000 km ≈ 9 454 000 000 000 000 km ≈ 9,454 x 10¹⁵ km
(Este valor representa a distância percorrida por uma “nave espacial” durante um ano utilizando a velocidade da luz).
E se a unidade fosse em metros (m)?

E como se escreve um parsec?
1 pc = 30 856 804 655 550 000 m ≈ 30 850 000 000 000 000 m ≈ 3,085 x 10¹⁶ m
Desta vez utilizamos metros na nossa transformação. E se a unidade fosse km? Como escreveríamos a distância correspondente a um parsec?

Imaginemos agora que embarcámos numa viagem espacial até aos confins do universo utilizando um veículo com uma velocidade muito superior à da luz:

- primeiro chegámos aos confins da nossa galáxia – a Via Láctea e percorremos 100 000 anos-luz;

- continuámos a viagem e chegámos à Nebulosa de Andrómeda que o telescópio espacial Hubble calculou que se encontra a cerca de um milhão de anos-luz. Parece evidente que não pertence à nossa galáxia.

- continuámos a viagem e percorremos uma distância correspondente à distância percorrida pela luz desde que se deu o BIG BANG (momento da formação do universo) – há cerca de 15 000 milhões de anos.

Escreva em notação científica (utilizando potências de base 10) os três números anteriores.

Ficamos à espera das vossas respostas, críticas e sugestões.

O Ano de 2010 e as potências de base 10 - I

Frantuco — Mon, 11 Jan 2010 15:50:53 GMT

A mudança de milénio provocou uma acesa polémica sobre o ano em que devia ocorrer. Houve defensores de um milénio com apenas 999 anos. Não deixa de ser um número curioso.

Mas parece que hoje já há poucos a pensarem que o 3º milénio começou no ano 2000. No ano 2000 terminou o 2º milénio e consequentemente o 3º começou em 2001. Deste modo o ano 2010 é também um número curioso: no dia 31 de Dezembro de 2010 termina a primeira década do 3º milénio, em que os algarismos das unidades de milhares e centenas formam um número (20) que é o dobro do número formado pelos algarismos das dezenas e unidades (10). E como qualquer outro número pode ser escrito na forma de um produto de um “número decimal” por uma potência de 10:

2010 = 2,010 x 10³

A 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, realizada em 1960, aprovou o Sistema Internacional de Unidades que, em Portugal, se tornou obrigatório em 1983. Após a sua aprovação em 1960, como dissemos, tem vindo a ser actualizado, considerando a enorme evolução tecnológica.
Em Portugal, é o Instituto Português da Qualidade (IPQ) que promove a actualização do Sistema e aprova “os padrões das suas unidades de medida.”

Dentro do Sistema cabem Grandezas e unidades de diversa ordem como Mecânica, Calor, Óptica, Química-Física, Grandezas e unidades de base, Prefixos e Nomenclatura dos grandes números,…

Como se escreve um octilião?

Um octilião, de acordo com a regra N é uma potência de base 10 e de expoente 48 que vai dar um número com 1 seguido de 48 zeros. Ou seja:

10⁴⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

A regra N determina o número de zeros de um número de acordo com o que se segue:

10^6N = (N)ilião

Se se entender que um milhão leva 6 (seis) zeros é fácil aplicar a regra:

10⁶= 1 000 000 ………………………………………… milhão

10¹² = 1 000 000 000 000 ……………………………... bilião

10¹⁸ = 1 000 000 000 000 000 000 …………………... trilião

10²⁴ = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 ………... quatrilião

Como se lerão os números correspondentes às potências 10³⁰, 10³⁶ e 10⁴²?

E os números correspondentes às potências 10⁹, 10¹⁵ e 10²¹?

As unidades SI têm múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com prefixos e que estão também associados a potências de base 10.
Para as grandezas de comprimento a unidade de base é o metro, cujo símbolo é m. Os múltiplos do metro (m) são:

deca + metro …………… da + m (dam) …………………. 10¹
hecto + metro ………….. h + m (hm) ……………………. 10²
quilo + metro ………….... k + m (km) …………………….. 10³

Se as grandezas forem outras, como as de massa, os múltiplos vão ter nomes com os mesmos prefixos, mas adaptados às grandezas.

Um pequeno desafio:

Descobrir múltiplos de grandezas cujos prefixos sejam:
yotta …………………………………………….............. 10²⁴
zetta …………………………………………….............. 10²¹
exa ………………………………………………............ 10¹⁸
peta ………………………………………………........... 10¹⁵
tera ………………………………………………............10¹²
giga ………………………………………………........... 10⁹
mega ……………………………………………............. 10⁶

O próximo artigo será à volta deste assunto, tendo em atenção os submúltiplos das grandezas e que importância têm estes números para a ciência.

Fico à espera dos vossos comentários, críticas e sugestões.

As cidades, as vilas, as aldeias e as estradas

Frantuco — Fri, 04 Dec 2009 22:37:47 GMT

Fala-se hoje muito em aquecimento global, consumo e poupança de energia, combustíveis fósseis, energias alternativas, energias renováveis,…
Perdoem-me a trivialidade, mas, para o cidadão do século XXI, um dos símbolos do progresso é poder conduzir um carro, quanto mais potente melhor, para chegar mais depressa ao seu destino, ganhando a maior parte das vezes uns miseráveis 5 minutos ou menos. Mas contribuiu decisivamente para o aumento da poluição do ambiente, para o mais rápido esgotamento dos combustíveis fósseis, para o aumento da temperatura ambiental e talvez até tenha posto em perigo a sua vida e a de outros condutores ao conduzir com excesso de velocidade. E a sua vaidade? Temos de pensar nisso. Ficou “inchado” e deve ter contado aos amigos que ultrapassou toda a gente na viagem que fez. Só não falou nas infracções que cometeu nem nos miseráveis minutos que “ganhou”,…
A velocidade, a que hoje as pessoas se deslocam, exige, além de bons veículos, caminhos, estradas que, em termos de facilidade e de distância nos levem de um lugar para outro de uma forma mais rápida, mais eficaz, mais barata, isto é, exigindo menos recursos para nos deslocarmos.
É hoje função dos governos nacionais e locais, as autarquias, planearem para os seus territórios todo um conjunto de infraestruturas que permitam aos cidadãos ter uma melhor qualidade de vida. Não vamos referir o que consideramos qualidade de vida, mas diremos que a mobilidade das pessoas é um elemento importante desse objectivo. Os cidadãos têm de ir para o seus locais de trabalho, têm de se deslocar para gozar as suas férias, têm de fazer compras, de acompanhar os filhos, de ir ao médico,…
A existência de bons meios de transporte e de boas estradas contribui decisivamente para facilitar a vida dos cidadãos. Deste modo, pensamos em apresentar algumas situações que têm a ver com a necessidade de tomar decisões de modo que as soluções sejam as mais eficazes.
Imaginemos que na nossa região temos três cidades que precisam de ser ligadas por estradas. Se pensarmos um pouco chegaremos à conclusão que haverá sempre várias formas de se ligarem. Vejamos:

Cada ponto representa uma cidade. Vamos descobrir as diferentes maneiras de as ligar.

1 – Podemos deixar as cidades sem ligações

2 – Podemos fazer apenas uma estrada

3 – Podemos fazer duas estradas

4 – Podemos fazer três estradas, ligando todas as cidades

Parece não haver mais nenhuma forma de ligação das cidades ou seja 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Se tivesse que ligar estas três cidades de modo a tornarem eficazes as ligações e o investimento ser o menor possível, qual das opções escolhia? Parece fácil e evidente: a opção 3 ou a 4. Mas qual é melhor para o utilizador? E para o investidor?

Nos dias de hoje, o desenvolvimento da economia, a circulação de bens e de pessoas exige que as estradas, as ligações entre os centros urbanos sejam eficazes. Como se mede a eficácia? Talvez, pelo tempo que se demora a fazer um percurso que tem a ver com a distância a percorrer e com o investimento a fazer na construção das estradas?

E se forem 4 cidades? Quantas formas diferentes há para fazer a sua ligação?

Parece não haver outras formas de ligar as quatro cidades,

ou seja, 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 11

Se observarmos com atenção parece haver aqui uma regularidade:
3 cidades - 1 + 1 +1 + 1
4 cidades – 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1

E se forem 5 cidades? Quantas são as maneiras diferentes? Tente encontrar todas as diferentes maneiras e verificará que existe de facto uma regularidade e talvez seja possível descobrir uma expressão algébrica que nos permita descobrir o número total de formas diferentes de ligar um determinado número n de cidades.

É este o desafio que deixo aos leitores. Parece um jogo. E talvez seja.

Fico à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.

O caderno de exercícios "Palma Fernandes"

Frantuco — Sun, 15 Nov 2009 19:44:46 GMT

Problemas de idades

Há já muitos anos, quando eu era aluno do secundário (na altura não se chamava assim – era o ensino liceal), além do manual, havia o “Palma Fernandes”, que era um livro de exercícios e problemas de Matemática, que era o “terror” dos estudantes. Ainda tenho em casa numa das estantes o “Palma Fernandes” de Matemática do 5º ano dos Liceus (correspondia ao actual 9º ano).

Estive a ler alguns dos problemas e sem querer fazer comparações com as propostas actuais, a “coisa” era complicada, especialmente na área da geometria.
Uma das críticas que se fazia ao livro era sobre os problemas que apresentava, bastantes de difícil interpretação. De entre eles destacavam-se os problemas das torneiras que enchiam um tanque em x horas e outra que enchia o mesmo tanque em y horas; mas havia outra torneira que ia esvaziando o tanque à medida que as outras o iam enchendo e despejava-o em z horas, mais horas do que demorava a encher. Pretendia-se saber ao fim de quantas horas ficava o tanque cheio. É evidente que duas torneiras a encher o tanque e outra a esvaziá-lo conduzia a desperdício de água e a situação não correspondia a algo com sentido. Um problema destes não tinha efectivamente qualquer suporte na realidade.

Vou transcrever um dos problemas de torneiras que encontrei no livro que tenho:

“Uma torneira e um cano de água enchem um tanque em 5 horas estando a água a correr por ambos. Quantas horas leva o cano a encher o tanque sabendo que demora a fazê-lo menos 24 horas do que a torneira, considerados separadamente?”

Também havia problemas de comboios e de ciclistas para determinar a velocidade ou o tempo que demoravam a percorrer determinada distância,…
E também havia problemas de idades. Já apresentei alguns deles, especialmente porque exigem da parte de quem pretende resolvê-los o gosto pela resolução de problemas, uma boa capacidade de raciocínio e, se a pessoa for persistente, pode melhorar a sua aprendizagem matemática ou fortalecer a sua capacidade de resolvedor de problemas.

Um dos problemas deste tipo que encontrei no livro que suscitou estas reflexões diz o seguinte e fica aqui, a par do problema das torneiras, como desafio aos leitores:

“Um pai tem 28 anos e o filho 2 anos. Daqui a quantos anos é que o produto das idades é igual a 120?”

Parece que este problema é de fácil resolução. Basta traduzir o problema por uma equação e resolvê-la.

Há, no entanto, problemas de idades que são um pouco mais complexos e exigem outro tipo de abordagem. Fica aqui um desafio para os leitores:

O Nuno tem o dobro da idade que o João tinha quando o Nuno tinha a idade que o João tem agora. A soma das idades do Nuno e do João é 56 anos.
Que idades têm agora o Nuno e o João?

Fico à espera dos vossos comentários, soluções e sugestões.

Os contos das noites de inverno - a moura prisioneira

Frantuco — Tue, 10 Nov 2009 16:52:39 GMT

Lá volto eu às memórias de infância. Os lobisomens, os fantasmas, as bruxas, os vampiros, as mouras encantadas, os gigantes, as princesas prisioneiras nos castelos que eram salvas pelos príncipes também fizeram parte do meu imaginário. De vez em quando ao ler um livro volto a recordar episódios ou histórias que são interessantes e acabam por se transformar em problemas com história. É o caso do problema que vou apresentar.
Ao ler o livro “Mais Actividades Matemáticas” de Brian Bolt encontrei um problema com o título “A deambulação da prisioneira” que trata de uma princesa prisioneira num castelo, fez-me lembrar o conto da princesa moura, que o pai fechou na torre do castelo para evitar que ela se encontrasse com o príncipe cristão por quem estava apaixonada. Felizmente a história acabou bem: o príncipe conseguiu libertá-la e levou-a para o seu reino onde casaram, tiveram filhos e foram muito felizes. Estes contos, felizmente para a sanidade mental das crianças, acabavam sempre bem: os protagonistas salvavam-se in extremis, casavam-se e eram felizes.
No entanto, à princesa do nosso problema não sei o que lhe aconteceu, mas apesar de estar fechada no castelo tinha alguma liberdade de movimentos e podia deslocar-se no seu interior e ir para o jardim, dando grandes passeios.
Vou apresentar o problema adaptado e com o auxílio de uma imagem, para se tornar mais compreensível.

O castelo tinha a forma rectangular e 4 torres, uma em cada canto. A princesa tinha o quarto na torre A e podia deslocar-se no castelo de uns locais para os outros seguindo os corredores representados pelas linhas. A letra H pretende representar a porta que dá acesso ao jardim e fica no piso inferior do castelo. Fica assim claro que o castelo tinha dois pisos, ficando o quarto da princesa no piso superior da torre A. Temos dois desafios para os leitores:

Primeiro desafio

Que caminhos e quantos podia a princesa percorrer da torre prisioneira A até à porta do jardim se percorresse os corredores sem nunca voltar para trás ou subir qualquer corredor? A princesa só pode andar para a frente e descer até à porta do jardim.

Segundo desafio

Descobrir quais e quantos caminhos pode a princesa percorrer no castelo, subindo, descendo, andando para a frente ou para trás (não pode voltar a A), até chegar à porta do jardim.

Vamos dar dois exemplos:

A B F H

A D C B F H

Ficamos à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.

Mais uma vez o regresso à memória - a travessia do deserto

Frantuco — Fri, 30 Oct 2009 18:32:51 GMT

Parece que hoje em dia a chamada dieta mediterrânica (eu julgo não saber o que é, mas penso tê-la praticado durante muitos anos e ainda continuo a praticar) é para os dietistas e entendidos em alimentação uma das formas mais saudáveis que as pessoas devem usar para alimentar-se.
Na casa dos meus pais, quando eu era criança e os tempos eram difíceis fazia-se uma alimentação em que se utilizavam muitos vegetais, legumes secos, leite natural e derivados como a manteiga e o queijo, pouca carne e as gorduras eram naturais, como o azeite e as do porco que se matava todos os anos no começo do inverno.
Recentemente recordei duas receitas, bem simples, que a minha mãe usava e que hoje seriam deliciosas se se utilizassem.
Vou falar de uma que utilizava uma variedade de ervas naturais, mesmo naturais, das que se encontravam no campo, na primavera, que era uma delícia e à qual chamávamos “Ervas”, mas que era um esparregado deslumbrante.
Recolhiam-se no campo várias espécies de ervas, como saramagos tenros, urtigas (parece estranho não!), ervas do monte (não sei outro nome), papoilas (a parte verde, não a flor), folhas e talos de favas e labaças (folha comprida e larga em forma de viola) e talvez outras ervas ao gosto das pessoas.
Migavam-se todas estas ervas juntas e misturadas, excepto as labaças que ficavam à parte, punham-se a cozer com sal.
Depois de cozidas, eram bem espremidas até ficarem sem água.
As labaças cruas, mas migadas, eram colocadas numa frigideira que ia ao lume com azeite e dois ou três dentes de alho esmagados, até ficarem tenras. Em seguida juntavam-se as ervas cozidas e escorridas, misturavam-se com as labaças e o azeite, deitava-se uma colher ou duas de farinha natural e deixava-se passar bem até ficarem embebidas de azeite e com o sabor a alho. Não levava vinagre porque as labaças são ácidas e substituem-no naturalmente. Depois é comer com fatias de toucinho frito, morcela, chouriço, farinheira e outras carnes. Mas só ainda é melhor.
A que proprósito vem isto?
A cultura popular era rica a criar receitas culinárias saudáveis e originais. Muitas vezes era necessária a imaginação que as necessidades a isso obrigavam. Mas, também tinha histórias, problemas e charadas que se contavam nas longas noites de inverno. O problema que vou apresentar é um clássico com algumas versões, pelo menos uma já informatizada. A versão que vou apresentar não foi ouvida à lareira, é evidente, mas poderia ter sido.
O deserto sempre foi um tema que atraiu as populações, pelos mistérios e atracção pelo desconhecido que encerra e pela sua ligação aos “mouros” e às suas lendas.

Mas aí vai o problema:

Um grupo de quatro aventureiros quer explorar uma parte do deserto e penetrar até 1200 km no seu interior. Têm para o fazer um gipão que pode transportar mantimentos e combustível até 800 Km. No acampamento-base, na orla do deserto, têm evidentemente tudo quanto necessitam para cumprir a aventura – combustível e mantimentos.
Torna-se imediatamente evidente que têm de fazer várias viagens e estabelecer depósitos intermédios para mantimentos e combustível, de modo a poderem fazer os 1200 km no deserto e regressar em segurança (que é fundamental).

A questão é:

Partindo da base quantas viagens são necessárias para que os nossos aventureiros consigam penetrar no deserto 1200 Km e regressar em segurança e quantos depósitos intermédios serão necessários?

Fico à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.

Grandes Matemáticos - Pitágoras

Frantuco — Fri, 23 Oct 2009 16:54:22 GMT

Pitágoras é especialmente conhecido pelo teorema que leva o seu nome e que quase todos os estudantes que completam o ensino básico conhecem.
Nasceu, segundo alguns, na ilha grega de Samos, no mar Egeu, no ano 580 a.C.
Segundo dizem também, embora se saiba pouco da sua juventude, ganhou prémios nos Jogos Olímpicos. Na idade adulta a sua sede conhecimento levou-o a percorrer o médio oriente e viajou pelo Egipto, Indostão, Pérsia, Creta, Palestina.
Acabou por se fixar em Crotona no sul de Itália, onde fundou uma escola (Escola Pitagórica), cuja filosofia tinha um carácter hermético e o conhecimento era transmitido oralmente, não havendo escritos. Durante cerca de 40 anos ensinou aos seus discípulos que “o número era tudo”.
“Os pitagóricos acreditavam firmemente que a essência de tudo, quer na geometria, quer nas questões práticas e teóricas da vida do homem, podia ser explicada através das propriedades dos números inteiros e/ou das suas razões”.
(in http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/pitagoras.htm)

Pitágoras estudou e construiu os poliedros regulares que ficaram conhecidos como sólidos platónicos, tendo sido Platão o seu divulgador. São cinco e aparecem associados ao universo e aos seus elementos, tendo em atenção a forma das suas faces. O dodecaedro simbolizava o próprio universo pela sua harmonia.

(In http://mat.absolutamente.net/recursos/fichas/10geo/platon.pdf)

Pitágoras, no entanto, como já dissemos, é especialmente conhecido pelo seu teorema, que afirma que o quadrado da hipotenusa num triângulo rectângulo é igual à soma dos quadrados dos catetos.

São conhecidas algumas dezenas ou mesmo centenas de demonstrações do teorema. Vamos apresentar duas:

- Uma delas utiliza algumas peças do tangran para fazer a demonstração.
Num dos catetos do triângulo rectângulo pequeno cabe a peça quadrada do tangran; no outro cateto cabe um quadrado feito com os dois triângulos pequenos e na hipotenusa cabe um quadrado formado pelo triângulo médio e os dois triângulos pequenos. Verifica-se, assim, que o teorema fica demonstrado já que o triângulo médio é equivalente ao quadrado. Uma figura ilustra bem a situação:

Como é fácil de verificar a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois. Está assim demonstrado o teorema de Pitágoras.

- A outra demonstração é igualmente bastante elegante e tem a característica de ter sido publicada em 1876 por um dos presidentes americanos do século XIX, James Abraham Garfield (1831-1881):

Garfield começou por construir um trapézio e no seu interior três triângulos rectângulos. A figura apresentava-se deste modo:

Calculando a área do trapézio rectângulo cujas bases são a e b vem:

A_t = (a + b)/2 x h, sendo que h = a + b
A_t= (a + b)/2 x (a + b)
A_t= (a²+ b²+ 2ab)/2

Por outro lado a área do trapézio é igual à soma das áreas dos três triângulos rectângulos que o constituem:

A_t= (a x b)/2 + (a x b)/2 + (c x c)/2
A_t= 2ab/2 + c²/2
A_t = (2ab + c²)/2

Daqui resulta que podemos igualar as duas expressões que representam a área do trapézio:

a² + b² + 2ab = 2ab + c² retirando o denominador 2 nas duas expressões.

Simplificando, vem:

a² + b² = c² , como queríamos demonstrar, já que:

c – hipotenusa
a e b - catetos

Este nosso artigo não podia acabar sem um desafio para os leitores, que tem de ter a aplicação do teorema de Pitágoras e que fomos buscar, adaptando-o, a um livro de Brian Bolt – “Mais Actividades Matemáticas”:

O Pátio Medieval

Durante a época medieval, como todos sabem, a água consumida era retirada dos poços. Num mosteiro que existia perto de Viseu, construído em volta de um pátio de forma quadrada, foi aberto um poço cuja localização está de acordo com o desenho que se segue:

O desafio que vos propomos é, utilizando o teorema de Pitágoras, calcular quanto media cada lado do pátio do mosteiro.

Ficamos à espera das vossas soluções, comentários e sugestões.

Cereais, legumes, medidas e...Vida

Frantuco — Fri, 16 Oct 2009 08:44:51 GMT

A minha avó materna nasceu no fim do século XIX. Aliás, todos os meus avós nasceram no século XIX. Viu “morrer” a monarquia, contava histórias das invasões francesas, que encantavam os seus netos e que tinha recebido como herança dos seus avós e onde o povo era o herói. Viveu os horrores da guerra civil de Espanha e como a generosidade era uma das qualidades que a caracterizava matou a fome a muitos espanhóis que atravessavam o rio Erges para o lado português, procurando e onde sabiam encontrar guarida e algum conforto para o estômago – nem que fosse apenas um prato de feijão cozido com azeite. Era a generosidade dos que tinham pouco, mas que estavam sempre disponíveis para partilhar o pouco com aqueles que ainda tinham menos. Viviam da agricultura, que naquelas bandas e naqueles tempos (ainda hoje) não havia fábricas. Mas havia lobos, de quatro patas e de duas. O seu saber, a sua cultura, a sua linguagem reflectia a sua actividade e a época, projectando-se no futuro, recusando, por vezes, as inovações que não cumpriam, não aceitavam porque não compreendiam.
A minha avó, se hoje fosse viva, teria 113 anos.
A sua cultura, a sua fala estavam impregnadas dos termos antigos que foram adaptados aos tempos que corriam. Relembrando esses dizeres reconheço termos como quartilho, arrátel, arroba, moio, alqueire, quarta, celamim, fanega,… Também se notava, por vezes, a influência espanhola em alguns termos como jaqueta, corcho,…
Recorrer a estas memórias levou-me a procurar encontrar as razões do uso de nomes de medidas e pesos com centenas de anos e que tinham sido substituídos por outros. Os hábitos enraizados levaram as pessoas a adoptar os novos pesos e medidas, mas mantendo a terminologia antiga fazendo a aproximação dos valores.
Um arrátel era uma medida de peso que correspondia a 459 gramas, que se transformou, pelo menos para os contemporâneos dos meus avós em meio quilograma – 500 gramas. Comprava-se na loja (mercearia) meio arrátel (250 g) de café, um arrátel de carne (500 g) no talho. As batatas para semear compravam-se à arroba que eram 15 Kg pelo sistema novo, mas que correspondiam a 32 arráteis, ou seja, 14,688Kg.
E que dizer de um alqueire? Os alqueires mediam-se em litros, mas quantos? Em muitas regiões referem-se alqueires de 14 litros. Para os meus avós e também para os meus pais um alqueire de cereal valia 16 litros. Quando se media o cereal (trigo, cevada, aveia, centeio, milho,…) os alqueires formavam os moios ( um moio valia 60 alqueires).
Naquele tempo, na minha terra não havia padarias. O pão era feito em casa e cozido nos fornos, que, por sinal eram mantidos pelos lavradores.
A farinha para fazer o pão era de trigo que era moído nas “fábricas” (era assim que eram conhecidas) . O trigo era medido às fanegas (4 alqueires) e meias fanegas.
O pão era estaladiço, com uma cor loira do calor do forno que parecia ter sido transportada da seara.
Uma cozedura durava, pelo menos, uma semana e mesmo duro era saboroso o pão.
Os legumes secos como o feijão pequeno, o grão de bico ou o feijão manteiga e o catarino eram medidos aos alqueires, mas também às quartas (4 litros) e aos celamins (2 litros – o valor real), embora o celamim fosse uma medida antiga para cereais que equivalia em certos casos a 1/16 do alqueire.
Para medir estes legumes eram usadas medidas de madeira castanha, tendo o litro a forma de um cubo com um dm de aresta, evidentemente no interior.

(imagem retirada de www.if-nespereira.com/balanças.html)

Vamos fazer um pequeno desafio, que também o foi para os fabricantes de medidas de madeira:

- Imaginem que vos pediam para fazer uma medida cuja altura era a mesma da medida de um litro e o fundo era um quadrado cujo lado era o dobro do da medida de um litro. Qual era a sua capacidade? Era um celamim? Era maior ou menor? Mantendo a altura do litro qual deveria ser a medida do lado do fundo do celamim?

- Como sabem o celamim tinha o dobro da capacidade do litro. Será que as suas medidas deviam ter o dobro do comprimento? Que relação havia entre a capacidade da medida com o dobro das dimensões e o celamim? Ou seria que as medidas reais eram outras?

Procurem encontrar as respostas a estas questões. É esse o desafio que vos propomos. Ficamos à espera das vossas respostas, comentários e sugestões.

Memórias I

Frantuco — Fri, 07 Aug 2009 16:44:37 GMT

É hoje, ou talvez desde sempre, regra as pessoas mais velhas afirmarem que no tempo delas é que era bom. Eu penso que cada época tem as suas coisas boas e tal como disse um escritor alemão cujo nome já não recordo e que cito de memória "a juventude não é boa nem é má, é fruto da época em que vive".

Recuando no tempo, posso dizer que as férias eram passadas na aldeia e como não havia praia, havia a "lagoa", um charco onde até as vacas bebiam, mas que servia para todos nós aprendermos a nadar e que eu saiba nunca nenhum apanhou a "doença das vacas loucas". Talvez não existisse ainda.

É claro que a vida era diferente, as exigências eram outras e os objectivos também. No entanto, todos nós pensávamos numa vida melhor e tínhamos sonhos, diferentes dos de hoje, mas sonhos.

Nós, por exemplo, tínhamos sonhos, uns que se concretizaram, outros não. É claro que não ficámos frustrados. Fomos em frente e procurámos enfrentar a vida de uma forma positiva. Acabámos por ser professores de matemática, que gostamos de fazer. Procurámos sempre ter uma postura de empenhamento naquilo que fazemos, procurando ensinar, mas também aprender todos os dias.

Desculpem estes desabafos, mas eram necessários para o que quero transmitir.

Nos meus tempos de estudante (mais uma vez recorro às minhas memórias) a ocupação do tempo tinha de certeza mais leitura e formas de ocupar o tempo que recorriam ao raciocínio.

Muitos dos desafios matemáticos que hoje aparecem como "clássicos" eram nossos conhecidos e passávamos horas a tentar resolvê-los. Vou apresentar alguns como desafios:

1 - O desenho que se segue é constituído por nove (9) pontos que formam um quadrado.

Propõe-se que que unam os nove pontos através de quatro (4) segmentos de recta, sem levantar o lápis ou a caneta, e sem passar duas vezes pelo mesmo segmento. É claro que tem truque (este tipo de desafios tem normalmente um truque).

2 - Sempre tivemos alguma predilecção pelas formas geométricas, daí que tínhamos de incluir outro desafio que as envolvesse. Assim, propomos que descubram na figura que se segue quantos triângulos de qualquer tamanho e forma há na estrela seguinte:

3 - E para terminar, um desafio que tem a ver com o tempo. Já há muito tempo que ando a tentar arranjar uma ampulheta (vulgo relógio de areia) e ainda não consegui. Se calhar não procurei bem. Mas o desafio que vos proponho é o seguinte:

Tenho dois relógios de areia: um dura 4 minutos e o outro dura 7 minutos. Quero medir 9 minutos que é o tempo necessário para cozinhar um prato de cogumelos de que gosto muito e que fica exactamente na medida com esse tempo de preparação. Neste caso considera-se que a viragem das ampulhetas não consome tempo, é instântanea. Descrevam os passos necessários para que possa comer os cogumelos exactamente como gosto.

O Labirinto

Frantuco — Sat, 04 Jul 2009 12:29:18 GMT

A minha infância foi povoada de histórias, umas mais fantásticas, outras menos. O imaginário das pessoas era rico em histórias de tesouros escondidos, de mouras encantadas, de lobisomens, de bruxas, das sextas-feiras com noites de Lua Cheia, de histórias da boa hora e da má hora,...

Também se falava de castelos encantados e de quem lá ia que nunca mais tornava. E é claro que também havia os labirintos. Quem lá entrava, perdia-se e era uma aventura encontrar a saída.

A história do Polegarzinho apareceu mais tarde, que como sabem, para marcar o caminho na floresta deixou cair os miolos do pão que tinha guardado do pequeno-almoço. Mas, os pássaros comeram os miolos e o Polegarzinho e os seus irmãos ficaram perdidos na floresta,... E não conto mais.

As histórias de labirintos aparecem mais tarde, com o estudo da História Universal. As mitologias grega e romana são ricas em histórias inverosímeis. Construiram um edifício complicadíssimo de acontecimentos e de deuses que muitas vezes só os especialistas conseguem decifrar.

Na mitologia grega, Minos, rei de Creta, filho de Zeus e de Europa (portanto um semi-deus), encomendou a Dédalo a construção do Labirinto, onde encerrou o monstro Minotauro, com corpo de homem e cabeça de touro. Este monstro alimentava-se de jovens (7 rapazes e 7 raparigas) que lhe eram anualmente oferecidos, por Minos, em sacrifício. É aqui que entra em cena Teseu, herói grego, que consegue entrar no labirinto, integrado no grupo dos sacrificados. Combate o Minotauro, mata-o e salva os jovens.

Mas como é que ele conseguiu sair do Labirinto?

Minos tinha uma filha chamada Ariadne, que, ao ver Teseu, se apaixona por ele, e, decide ajudá-lo, ensinada por Dédalo, o construtor do Labirinto. Ariadne dá a Teseu um rolo de lã que ele prende à entrada do labirinto e que vai desenrolando até encontrar o monstro e matá-lo. Para sair, basta seguir o fio e encontrar a saída. Quando se fala de labirintos é conhecida a expressão O Fio de Ariadne, como a chave da saída.

É claro que a história não acaba aqui. Minos não gostou que Dédalo, o arquitecto, tivesse ensinado a filha, que por sua vez ensinou Teseu a sair do labirinto e encerrou-o a ele e ao seu filho Ícaro no labirinto.

E agora começa outra história que acaba com a morte de Ícaro afogado no mar Egeu, quando as suas asas de cera se derreteram por se ter aproximado demasiado do sol. A ambição desmedida também tem os seus castigos.

É claro que encontrar o caminho de saída de um labirinto pode não ser uma tarefa fácil.

O desafio que vos proponho é exactamente encontrar o caminho de saída do labirinto, a partir da sala central, assinalada com a letra C.

Rãs e Sapos ou Ovelhas e Cabras - II

Frantuco — Sat, 27 Jun 2009 10:36:53 GMT

No artigo anterior, que não ficou completo, falei de alguns jogos da minha infância (voltarei a este assunto) e terminei o artigo com um desafio em que propunha a descoberta do caminho para trocar de posição 4 moedas de cada cor. Já tínhamos definida a fórmula de cálculo do número óptimo de movimentos a efectuar quando o número de rãs é igual ao número de sapos.

Mas, a situação pode ser diferente. Se o número de sapos for diferente do número de rãs? Parece claro que os movimentos a efectuar serão também diferentes do caso inicial. Vamos fazer uma experiência. Consideremos o caso em que temos do lado esquerdo 1 moeda branca e do lado direito 4 moedas pretas. Vejamos o que acontece:

Mudámos a posição das moedas ao fim de 9 movimentos. Se repararem, os movimentos efectuados apresentam uma certa regularidade, embora pudessem ser feitos de outra maneira.

Começámos por 1 moeda branca e 4 pretas, mas podíamos ter começado por 1 branca e 2 pretas e a seguir 1 branca e 3 pretas. Será que se verificaria alguma regularidade? Esta é uma investigação que o leitor pode fazer. Tente descobrir a lei de formação da regularidade se a encontrar.

Mas proponho ainda outro desafio:

Tente descobrir o caminho para trocar de posição 2 moedas brancas e 3 moedas pretas.

Ainda relacionado com sapos e rãs encontrei recentemente no livro espanhol "El País de las Mates" de Miguel Capó Dolz um problema que vou apresentar aos leitores com ligeiras adaptações:

Do lado esquerdo da figura encontram-se 3 sapos e do lado direito 3 rãs. Pretende-se que ensinem aos simpáticos animais a cadeia de movimentos a realizar de modo a trocarem as suas posições, mas de acordo com as seguintes regras:

1 - Cada sapo ou cada rã pode ir para qualquer casa desde que esteja vazia.

2 - Nem os sapos nem as rãs podem saltar por cima uns dos outros.

É este o desafio que tinha para vos propor. Fico à espera dos vossos comentários e respostas.

Rãs e Sapos ou Ovelhas e Cabras

Frantuco — Sun, 21 Jun 2009 00:33:28 GMT

Fizeram parte da minha infância muitos jogos a que hoje chamam de "tradicionais", mas que para nós eram puro divertimento e os nomes que lhes dávamos poucas pessoas conseguem hoje identificá-los.

Jogar à "CHIA" era hoje, se ainda se joga, jogar à "Macaca".

E o que era jogar à "Barra-bandeira"? Não sei se hoje terá algum correspondente.

E o que era jogar ao "Mocho"? Quem sabe? Já alguém ouviu falar?

Pois é. Naquela época não havia televisão, não havia computadores, nem consolas, nem vídeos,nem...

Mas havia a rua para jogar livremente e às vezes, na Primavera quando chovia e as valetas corriam, andávamos descalços na água e na lama que se metia por entre os dedos dos pés e era uma sensação deliciosa.

Perdoem-me por esta nostalgia. Estas memórias vêm a propósito de jogos. Hoje vou falar de um jogo que no meu tempo de estudante jogávamos com 6 moedas - 3 brancas e 3 pretas. Colocavam-se 3 de um lado e 3 do outro, com um intervalo entre elas. Através de movimentos para a direita e para a esquerda, de acordo com algumas regras pretendia-se trocar a posição das moedas brancas e pretas no menor número de movimentos. Este jogo/problema envolve muita matemática. Vamos ver porquê.

As regras são:

1 - Uma moeda pode deslocar-se para um espaço à sua direita (moeda branca) ou à sua esquerda (moeda preta) que esteja livre;

2 - Uma moeda pode saltar por cima de outra de cor diferente desde que o espaço à sua direita ou à sua esquerda esteja livre.

3 - As moedas brancas só podem deslocar-se para a direita e as pretas só podem deslocar-se para a esquerda.

São apenas estas três regras.

A - Comecemos por jogar com duas moedas (discos, bolas,...) uma de cada cor.

Como se verifica bastam 3 movimentos para trocar a posição das moedas.

B - Façamos o jogo com 4 moedas, duas de cada cor.

Como verificamos a posição das moedas troca-se ao fim de 8 movimentos (M1, ..., M8), cumprindo as regras.

E, agora perguntamos: Quantos movimentos são necessários para mudar 3 moedas de cada cor? Ou 4, 5 ou n moedas de cada cor? Será possível descobrir uma regra que nos permita saber quantos movimentos temos de efectuar para trocar a posição das moedas?

Vejamos:

1 - Como as moedas de uma cor não podem saltar por cima das da mesma cor, significa que chegam ao seu destino mantendo as posições relativas, isto é, para cada moeda se houver n moedas de cada cor teremos de fazer n+1 movimentos. Assim, para n moedas brancas são n(n+1) e para n moedas pretas são n(n+1) movimentos. Somando as duas expressões dá no total : n(n+1) + n(n+1) = n² + n + n² + n = 2n² + 2n, movimentos, se não houvesse saltos que poupam movimentos.

2 - Vamos ver então quantos saltos são dados. As moedas brancas saltam por cima das negras e vice-versa. Quantos saltos são no total? Vamos contá- los nos exemplos anteriores:

No primeiro caso foi dado 1 salto (M2) - poupou-se 1 movimento.

No segundo caso foram dados 4 saltos (M2, M4, M5, M7) - pouparam-se 4 movimentos.

E se fossem 3 moedas de cada cor, quantos saltos se davam? Se aplicarmos a primeira fórmula ao caso de 2 moedas de cada cor obtemos:

2 x 2² + 2 x 2 = 2 x 4 + 4 = 8 + 4 = 12 movimentos

Mas só fizemos 8. Então temos de tirar 4 movimentos que correspondem aos saltos dados e movimentos poupados.

Como são 2 moedas de cada cor, então 4 = 2 x 2.

Se forem 3 moedas de cada cor, então os saltos serão 9 = 3 x 3 e se forem n moedas, então os saltos serão n x n = n² .

Daqui podemos concluir que o total de movimento necessários para trocar a posição de n moedas de duas cores é dado pela expressão:

2n² + 2n - n² = n² + 2n

Parece evidente que agora é fácil saber quantos movimentos são necessários fazer para um determinado número de moedas. É só aplicar a fórmula anterior.

Mas, já se torna um pouco mais difícil (só um pouquinho) fazer um esquema igual ao nosso com os movimentos necessários para trocar 4 moedas de cada cor. É este o desafio que vos propomos.

Ficamos à espera das vossas respostas e comentários.

HIPÁTIA DE ALEXANDRIA

Frantuco — Tue, 16 Jun 2009 15:10:31 GMT

A história da Matemática está recheada de matemáticos-homens, ou, melhor, foi feita por homens. Ao longo dos séculos as mulheres foram sempre colocadas numa posição subalterna em relação aos homens, mas também foram sempre “sacrificadas” e marginalizadas. Apesar disso é possível encontrar na história da matemática algumas mulheres que se tornaram notadas e ficaram na história, principalmente, pela sua inteligência, pela sua cultura, pelo seu valor.

As mulheres que se destacaram na matemática até ao século XX contam-se pelos dedos das duas mãos. Entre os génios matemáticos da Antiguidade conta-se Hipátia de Alexandria (370 - 415), a primeira grande matemática de que se tem conhecimento e que ficou na história, exactamente por ser uma mulher muito bela e ao mesmo tempo com muito saber, gentileza, palavra e talento.

A sua educação envolveu arte, ciência, literatura, filosofia, oratória, retórica e religião. O seu pai, Teon de Alexandria, eminente matemático no Museu de Alexandria do qual chegou a ser director, foi o seu professor, com o qual aprendeu geometria e astronomia

Viveu numa época de confrontos religiosos e foi vítima deles. Negando ter qualquer religião, apresentando-se como ateia, foi torturada até à morte pelos seguidores de S.Cirilo, fanáticos cristãos que não lhe perdoaram a inteligência e o fulgor da sua beleza e sabedoria.

Embora não se conheça a sua obra fala-se que escreveu sobre Diofanto e Apolónio (Tratado sobre as cónicas – elipse, hipérbole e parábola) e juntamente com o seu pai terá escrito um tratado sobre Euclides. No entanto, das suas obras pouco se conhece.

Fala-se de Hipátia pelo seu destino trágico, pela sua beleza e inteligência, mas também pela sua contribuição científica. Através das cartas que um seu ex-aluno, Synesius de Cirene (370 – 413 d.C.), lhe escrevia a pedir conselhos, sabe-se que ela inventou instrumentos para a astronomia – astrolábio e planisfério – e também aparelhos para a física – o hidroscópio.

A maior parte destas informações foram obtidas no site cujo endereço é http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/hipatia/hipatia.htm

Como as mulheres matemáticas foram tão poucas e da sua obra pouco se conhece vou apresentar um enigma atribuído a uma mulher matemática, também célebre, mais pela sua origem aristocrática, filha de Lorde Byron – poeta inglês do século XIX – Augusta Ada King Byron, condessa de Lovelace.

Um enigma proposto por Ada Lovelace

Esta mulher do século XIX (toda a sua vida decorreu durante esse século) ficou famosa, sobretudo, pelos seus trabalhos com Charles BABBAGE na invenção da sua máquina de calcular.

Segundo contam, certo dia perguntaram-lhe qual era a sua idade e ela respondeu:

“Se trocarmos a ordem dos dois algarismos da minha idade e elevarmos esse número ao quadrado, obtém-se justamente o ano em que estamos”.

Em que ano se deu esta conversa? Em que ano nasceu Ada Lovelace?

A decomposição de números e os selos

Frantuco — Fri, 05 Jun 2009 17:49:51 GMT

Existe um princípio matemático que afirma o seguinte:

- Qualquer número inteiro é uma potência de base 2 ou a soma de potências de base 2.

Este princípio permite-nos fazer uma espécie de jogo com cartões em que conseguimos adivinhar o número que alguém escolheu se nos disser em que cartões está o número.

Para que se possa compreender façamos uma experiência:

- Considere o leitor que escolheu, por exemplo, o número 27.

Em que cartões estará o número 27? Basta saber que 27 = 2⁴ + 2³ + 2¹ + 2⁰ , ou seja, 27 = 16 + 8 + 2 + 1. O número 27 terá de estar em 4 cartões, porque para obtermos a soma 27 temos de utilizar 4 potências de base 2, como se viu anteriormente.

Pode é fazer-se outra pergunta:

E quais são os números que constam dos cartões?

Para responder a esta questão teríamos de construir os cartões escrevendo as potências que entram na formação de cada número:

A - 2⁰ = 1	B - 2¹ = 2	C - 2² = 4	D - 2³ = 8	E - 2⁴ =16
1	2	4	8
3	3	5	9
5	6	6
7	7	7
9

Para formar o número 1 preciso apenas do peso 1 e para o 2 também só o 2; mas 3 = 1 + 2; 4 = 4; 5 = 4 + 1; 6 = 4 + 2; podemos continuar: é fácil. Inscrever na coluna de cada potência quais os números em que essa potência entra.

Tentem preencher o resto das células e acrescentem as necessárias para poderem utilizar 5 potências.

Se considerarmos 5 potências podemos formar números até 31.

Mas se formos a uma estação dos CTT despachar uma encomenda, por exemplo, de 241 gramas, que pesos deve utilizar o empregado, considerando que há um número óptimo de pesos? Têm de ser potências de 2:

241 = 2⁷ + 2⁶ + 2⁵ + 2⁴ + 2⁰

241 = 128 + 64 + 32 + 16 + 1 - 5 pesos

Tentem responder a este pequeno desafio:

- Imagine que estava numa estação dos CTT a despachar uma encomenda que pesava 255g. Que pesos devia usar o empregado, de acordo com as condições que pusemos anteriormente?

Já que estamos a falar de correios, recentemente encontrei um livro da editora Gradiva, de Carlos Roque e Luísa Cruz, cujo título é "Matemática ao virar da esquina", no qual é apresentado um problema que envolve selos. Como o desafio tem a ver com a decomposição de números, resolvi adaptá-lo e apresentá-lo como desafio aos leitores. Aí vai:

- A companhia de Correios onde o meu amigo Victor trabalha decidiu recentemente lançar uma edição de selos - 5 selos de valores diferentes - de modo que seja possível obter todas as tarifas de 1 cêntimo até 55 cêntimos usando apenas 4 selos. Para obter as diferentes tarifas podem repetir-se os selos. Por exemplo: 3 = 1 + 1 + 1, isto é, três selos de um cêntimo. Quais são os valores dos selos que devem ser editados para cumprir a condição inicial?

Ficamos à espera dos vossos comentários e das vossas soluções. Bons raciocínios.

Grandes Matemáticos - Leonard Euler

Frantuco — Fri, 29 May 2009 20:03:52 GMT

Desde muito cedo (penso que logo que aprendi a ler) gostei de ler biografias. Não é preciso dizer que nos contam, por vezes, aspectos interessantes da vida das pessoas. Dão-nos, seguramente, uma imagem mais humanizada dos biografados, nomeadamente dos cientistas, à volta dos quais se criam mitos, lendas, que não correspondem à verdade. A biografia de qualquer pessoa que ficou na história pelas mais variadas razões mostra sempre que as ideias feitas nunca correspondem à verdade.

Como já disse gosto muito de biografias e especialmente das de cientistas. Vou tentar periodicamente apresentar, não uma biografia, mas alguns aspectos, que considero importantes do ponto de vista científico, da vida de alguns matemáticos, uns mais, outros menos conhecidos. Vou começar pelo senhor Leonhard Euler.

Leonhard Euler foi um matemático suiço do século XVIII (1707-1783).

Todos os alunos que fizeram o 2º ciclo ouviram falar deste matemático.

Todos conhecem a Igualdade de Euler, que é apresentada aos alunos do seguinte modo:

F + V = A + 2, em que as letras significam

F - Faces; V - Vértices; A - Arestas

Esta igualdade tem a ver com os sólidos poliedros, que como é sabido são sólidos geométricos limitados apenas por superfícies planas.

Quer então dizer que, em qualquer poliedro, o número de Faces mais o número de Vértices é igual ao número de Arestas mais 2.

Não vamos apresentar nenhum exemplo. Basta pensar, por exemplo, num prisma hexagonal e verificaremos a igualdade.

Mas Euler não ficou famoso apenas por esta igualdade. É apontado como autor de cerca de 800 trabalhos.

A Teoria dos Grafos, que teve um desenvolvimento fundamental no século XX , teve a sua contribuição quando resolveu o célebre problema "As Pontes de Konigsberg", actual Kalalinegrado. Esta cidade da antiga Prússia Oriental é atravessada pelo rio Pregel que se ramifica formando uma ilha (Kneiphof) que estava ligada à restante parte da cidade por sete pontes. Dizia-se que os habitantes da cidade, nos dias soalheiros de descanso, tentavam efectuar um percurso que os obrigasse a passar por todas as pontes, mas apenas uma vez em cada uma. Como as suas tentativas foram sempre falhadas, muitos deles acreditavam que não existia tal percurso.

Leonhard Euler, a pedido do presidente da Câmara da cidade provou que era impossível fazer o passeio passando apenas uma vez por cada uma das pontes. Utilizou para isso um esquema bem simples que hoje tem o nome de grafo. Nascia assim a Teoria dos Grafos.O meu colega e amigo José Filipe já tratou este assunto num artigo publicado há algum tempo que pode ser lido aqui.

De acordo com as fontes que consultámos, Euler tinha a versatilidade de um génio, uma vez que os seus interesses científicos foram muitos e variados: professor de Fisiologia na faculdade de Medicina de São Petersburgo, dedicou-se à astronomia, criou a teoria dos grafos, trabalhou em Cartografia,...

De entre os números reais mais conhecidos, temos de destacar dois que estão associados ao nome de Euler:

- O número de Euler (e) tem um valor aproximado de 2,71828. É a base dos logaritmos neperianos e define-se como o limite de (1+1/n)ⁿquando n tende para infinito. Onde aparece a ligação de Euler a este número? Segundo a história a existência do número é anterior, sendo também conhecido como constante de Neper, mas foi o matemático suiço o primeiro a utilizar a letra e para identificá-lo e também tem o seu nome como homenagem.

O Número de Euler é um número irracional e também transcendente e apresentamo-lo a seguir com as primeiras 200 casas decimais:

e=2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240

76630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572

90033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901.

- A constante de Euler-Mascheroni (y) tem o valor aproximado 0,57721 e define-se como sendo limite quando n tende para infinito de (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n - log n). Esta constante foi definida pela primeira vez em 1735 por Euler e tem múltiplas aplicações em Teoria dos Números.

Poderíamos continuar a falar das realizações do célebre matemático, mas aí vai o nosso desafio que também tem o seu nome:

Construir a recta de Euler que se obtem do seguinte modo:

- Construir um triângulo qualquer

- Traçar as suas alturas que vão cruzar-se num ponto que toma o nome de ortocentro. Assinalar esse ponto

- Traçar as suas medianas que vão cruzar-se num ponto que toma o nome de baricentro. Assinalar esse ponto

- Traçar as mediatrizes dos seus lados que se encontram no ponto que se chama circuncentro. Assinalá-lo.

Verificar que os três pontos estão alinhados, traçando a recta que os contem.

Fico à espera dos vossos comentários e sugestões.