Hoje vamos apresentar um novo desafio que é mais uma pequena investigação. Não tem a ver com questões práticas, mas permitem-nos descobrir relações entre os números que são bastante interessantes.
Podemos chamar à investigação que vamos fazer “somas de cubos”. Em que consiste? A palavra cubo tem a ver com o número 3. Assim, propomos que se seleccione um número de dois algarismos que seja múltiplo de três (3). Vamos escolher, por exemplo, o 15. Em seguida calculamos os cubos dos seus algarismos e somamos; ao novo número fazemos a mesma coisa: cubos dos algarismos e soma; continuamos o processo até que verifiquemos que alguma coisa está a acontecer:
15 ----- 13 + 53 = 1 + 125 = 126
126 --- 13 + 23 + 63= 1 + 8 + 216 = 225
225 ---- 23 + 23 + 53 = 8 + 8 + 125 = 141
141 ---- 13 + 43+ 13 = 1 + 64 + 1 = 66
66 ------ 63 + 63 = 216 + 216 = 432
432 ---- 43 + 33 + 23 = 64 + 27 + 8 = 99
99 ----- 93 + 93 = 729 + 729 = 1458
1458 -- 13 + 43 + 53 + 83 = 1 + 64 + 125 + 512 = 702
702 -----73 + 23 = 343 + 8 = 351
351 ---- 33+ 53 + 13 = 27 + 125 + 1 = 153
153 ---- 13 + 53 + 33 = 1 + 125 + 27 = 153
A partir deste momento temos a certeza que o resultado se vai repetir indefinidamente, porque os algarismos são os mesmos – 1, 5, 3.
- Propomos que se faça o mesmo com todos os números de dois algarismos múltiplos de 3. Descrever o que acontece. Qual é o número que precisa de mais operações (passos) até se começar a repetir? Qual foi a soma mais elevada que se atingiu?
Sugere-se a elaboração de uma tabela para se verificarem mais facilmente os resultados obtidos; ou então um percurso com os valores obtidos com os diferentes números.
Se começarmos por utilizar os números divisíveis por 3 com dois algarismos, vamos conseguir um conjunto de números que depois de ligados de acordo com as somas obtidas obtemos uma série de percursos até atingirmos o mesmo número, que a partir daí se repete indefinidamente.
Vamos começar pelo menor número de dois algarismosdivisível por 3:
12 9 729 1080 513 153
21 ………………………………….. 153
15 126 225 141 66 432 99 1458 702 351 153
51 …………………………………………………………….. 153
18 513 153
81 …………...153
24 72 351 153
42 …………………... 153
Parece ser evidente, neste momento, que todas as sequências vão terminar no número 153.
Façamos mais algumas somas, utilizando números maiores:
99 1458 702 351 153
78 855 762 567 684 792 1080 513 153
87………………………………………………………... 153
60 216 225 141 66 432 99 1458 702 351 153
6……………………………………………………….............. 153
36 243 99 1458 702 351 153
63 …………………………………………..... 153
Podemos agora confirmar as observações que referimos anteriormente e que nos parecem interessantes:
15 + 51 = 66
26 + 62 = 88
Mas se somarmos 78 + 87 = 165 (não é capicua); mas podemos continuar:
165 + 561 = 726
726 + 627 = 1353
1353 + 3531 = 4884 - já é capicua; mas foram precisas quatro somas.
Se calcularmos as somas de todos os números de dois algarismos, múltiplos de três, e tentarmos fazer um diagrama com os percursos todos, obtemos uma figura parecida com a que se segue:
Pode alargar-se a investigação e utilizar os números múltiplos de 3 menos 1.
Por exemplo: 3 x 12 – 1 = 35.
35 ----- 33+ 53 = 27 + 125 = 152
152 --- 13 + 53 + 23 = 1 + 125 + 8 = 134
134 --- 13 + 33 + 43 = 1 + 27 + 64 = 92
92 ----- 93+ 23 = 729 + 8 = 737
737 --- 73 + 33 + 73 = 343 + 27 + 343 = 713
713 --- 73 + 13 + 33 = 343 + 1 + 27 = 371
371 --- 33 + 73 + 13 = 27 + 343 + 1 = 371
A partir deste momento mais uma vez os números começam a repetir-se e vão dar sempre 371.
- Propomos mais uma vez que se utilizem os outros números de dois algarismos da forma 3N – 1 e analisar os resultados e tentar tirar conclusões. Será que a soma final é sempre 371?
Para terminar, experimentar com os números da forma 3N + 1.
Pode começar-se, por exemplo, pelo número 3 x 21 + 1 = 64.
64 ----- 63 + 43 = 216 + 64 = 280
280 --- 23 + 83 = 8 + 512 = 520
520 --- 53 + 23 = 125 + 8 = 133
133 --- 13 + 33 + 33 = 55
55 ----- 53 + 53 = 125 + 125 = 250
250 --- 23 + 53 = 8 + 125 = 133
Neste caso acaba-se num conjunto cíclico de números. Será que acontece com todos os números de dois algarismos da forma 3N+1?
- Sugere-se ainda uma outra investigação: começar com números maiores, por exemplo, de três algarismos, ou utilizar potências de grau superior a três.
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