Tal como dissemos no artigo anterior, o jogo do NIM tem algumas versões. Esta segunda versão que vamos tratar é uma das mais conhecidas e é a que é referida no filme "L`année dernière à Marienbad".
Na primeira versão apresentámos o jogo com uma só linha.
Na segunda versão pode haver duas linhas ou dezenas delas.
As regras consistem em tirar tantos objectos quantos se quiser, mas de uma só linha e ganha o jogador que tirar o último objecto.
A versão mais simples poderá ser o jogo com duas linhas e apenas um objecto em cada uma:
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Neste caso perde o jogador que começa o jogo. É fácil de ver porquê: o jogador A, que começa só pode tirar um objecto de uma linha. Logo, a seguir, o segundo jogador tira o segundo e último objecto e ganha.
Vamos imaginar uma versão mais complicada: duas linhas com dois e sete objectos, respectivamente:
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Neste caso, só temos a certeza de ganhar se formos nós a começar o jogo. Como?
- 1ª jogada - tiramos cinco (5) objectos da segunda linha e fica assim:
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- 2ª jogada - o nosso adversário tem duas hipóteses: ou tira 1 (um) objecto de uma linha e nós tiramos também 1 (um) objecto da outra linha e fica assim:
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- A jogada a seguir corresponde à versão mais simples: o nosso tira um objecto e nós tiramos o outro e ganhamos.
Ou
- 2ª jogada- o nosso adversário tira 2 (dois) objectos de uma linha e nós tiramos os outros dois da outra linha e ganhamos.
Vamos imaginar que nos propunham um jogo com três (3) linhas, organizadas do seguinte modo:
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E agora, como é que se joga para ganhar? É aqui que entra a matemática. É preciso construir uma situação ganhadora.
Supondo que iniciamos nós o jogo, que jogada devemos fazer?
É preciso fazer um estudo da situação.
O nosso sistema de numeração é de base 10, o que significa que qualquer unidade de uma ordem contem 10 unidades de ordem inferior.
É assim que quando dizemos 783, queremos dizer "sete centenas, oito dezenas e três unidades".
Considerando que
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
.......................................
então
75 048 = 7 x 104 + 5 x 103+ 0 x 102+ 4 x 101+ 8
Tal como escrevemos um número na base 10 podemos utilizar outras bases para escrever um número.
Consideremos a seguinte tabela:
Números | base 2 | base 5 | base 8 | base 10 | base 12 |
7 | 111 | 12 | 7 | 7 | 7 |
14 | 1110 | 24 | 16 | 14 | 12 |
21 | 10101 | 41 | 25 | 21 | 19 |
36 | 100100 | 121 | 44 | 36 | 30 |
49 | 110001 | 144 | 61 | 49 | 41 |
Como se verifica escrevemos 5 números na base 10 em outras bases. Se observarmos bem verificamos que existe uma base que se destaca das outras todas pela sua simplicidade. É a base 2 que precisa apenas de dois (2) símbolos para escrever qualquer número.
Como passar um número da base 10 para qualquer base? Vamos fazer um exemplo para a base 2. Fazem-se divisões sucessivas por 2. Vamos passar o número 43, para a base 2:
O número 43 escreve-se na base 2 começando no último quociente como 101011, que também se pode escrever, tal como fizemos para o 75 048 na base 10:
101 011 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1
Se fizermos os cálculos verificamos que o número 43 na base 10 se pode escrever do seguinte modo:
43 = 32 + 8 + 2 + 1 ou seja 25 = 32 // 23 = 8 // 21 = 2 // 20 = 1
Esta igualdade tem a ver com o teorema que afirma que "Um número inteiro é uma potência de dois (2) ou a soma de duas ou mais potências de dois (2)". A tabela que segue mostra isso mesmo:
Números | Potências de 2 | Números na base 2 | ||||||
64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | ||
2 | 1 | 0 | 1 0 | |||||
6 | 1 | 1 | 0 | 1 1 0 | ||||
18 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 0 0 1 0 | ||
19 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 0 0 1 1 | ||
26 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 1 0 1 0 | ||
44 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 0 1 1 0 0 |
Para escrever qualquer número inteiro na base dois (2) basta descobrir quais as potências de 2 que somadas dão o número escolhido. Vejamos o 44.
44 = 32 + 8 + 4, mas não tem o 16, nem o 2, nem o 1. Por isso, colocando por ordem as potências de 2, na posição do 32, do 8 e do 4 aparece 1 e na posição do 16, do 2 e do 1 aparece 0.
Assim 44 na base 2 escreve-se 1 0 1 1 0 0.
O sistema binário ou de base 2 tem variadissimas aplicações especialmente em computação. A sua utilização no jogo do NIM permite-nos encontrar uma estratégia ganhadora, utilizando a lógica do sistema binário. Vamos voltar à proposta das três linhas de objectos. Se ainda se lembram tínhamos três linhas com 3, 5 e 7 objectos. Qual a estratégia ganhadora?
Vamos construir uma tabela com estes números:
Números Base 2 quatro - 4 dois - 2 um - 1 3 0 1 1 5 1 0 1 7 1 1 1 0 0 1
Para que serve esta tabela?
Temos os números de objectos escritos na base 2. Temos as colunas somadas, cujos resultados são da esquerda para a direita 0, 0, 1. O que significam estes valores? Se a soma é par colocamos 0, se for impar colocamos 1. No jogo do NIM a estratégia ganhadora implica que todas as "somas" sejam 0 (pares). O que temos não é uma situação ganhadora.
O que devemos fazer se formos nós a jogar?
Temos duas jogadas possíveis. Tirar um objecto da 1ª linha, onde ficariam dois objectos. A situação ficaria:
Números | Base 2 | ||
quatro - 4 | dois - 2 | um - 1 | |
2 | 0 | 1 | 0 |
5 | 1 | 0 | 1 |
7 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Poderíamos ter feito outra jogada. Qual? Deixo ao leitor a sua descoberta.
Vamos fazer as jogadas possíveis utilizando os objectos:
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- A primeira jogada é tirar um objecto da primeira linha para obtermos uma posição ganhadora. A situação fica assim:
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- Agora é o nosso adversário a jogar. Imaginemos que ele tira 3 objectos da 3ª fila.
Que jogada devemos fazer?
Podemos tirar, por exemplo, os dois objectos da 1ª linha e a posição fica assim:
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-.Agora é novamente o nosso adversário a jogar. Se estivesse no lugar dele que jogada faria? Vamos imaginar que tira três objectos da 1ª fila. O que fazemos nós? Para continuarmos a manter a posição vencedora temos de tirar dois objectos na 2ª fila e a posição fica como segue:
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- Agora é novamente o nosso adversário a jogar. E já perdeu. Se tirar dois objectos de uma das filas, nós tiramos os outros dois da outra fila e ganhamos.
Se tirar um objecto de uma fila, nós tiramos um objecto da outra e fica um objecto em cada fila. Como a seguir joga ele e tem de tirar um objecto de uma fila, nós tiramos o outro e ganhamos.
Para terminar, vamos deixar um desafio aos leitores. Não se devem esquecer de organizar uma tabela para encontrar a estratégia ganhadora.
- Somos nós a jogar e temos esta posição, que queremos transformar em posição ganhadora. Que jogada fazer? E como desenvolver o jogo perante o nosso adversário?
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E se a situação fosse a seguinte, um pouco mais complicada?
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Fico à espera das vossas soluções.
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